Has determinado correctamente que el dominio de la función es el conjunto de los números reales.
Luego, tienes que el valor de la función en estudio es: x0 = 0,
por lo que planteas la definición de continuidad de una función para él, y tienes:
1°)
f(0) = -1/2;
2°)
Lím(x→0) f(x) = Lím(x→0) (ln(1+ax) - bx)/x2 =
aplicas la Regla de L'Hôpital (aquí asumimos que el numerador tiende a cero, como ocurre con el denominador), y quda:
= Lím(x→0) ( a/(1+ax) - b ) / (2x) =
aplicas la Regla de L'Hôpital nuevamente, y queda:
= Lím(x→0) ( -a2/(1+ax)2 ) / 2 =
resuelves este límite, y queda:
= -a2/2;
3°)
planteas la condición de continuidad de la función, y queda:
Lím(x→0) f(x) = f(0), sustituyes expresiones, y queda:
-a2/2 = -1/2, multiplicas por -2 en ambos miembros, y queda:
a2 = 1, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:
a)
a = 1, reemplazas este valor en la expresión remarcada, y queda:
Lím(x→0) ( 1/(1+1x) - b ) / (2x),
y como este límite debe existir y el denominador de su argumento tiende a cero, entonces tienes que debe cumplirse:
Lím(x→0) ( 1/(1+1x) - b ) = 0,
resuelves este límite, y queda:
1 - b = 0, y de aquí despejas: b = 1;
luego, tienes que la expresión d
e la función de tu enunciado queda:
f(x) =
(ln(1+1x) - 1x)/x2 con 1+1x > 0 y x ≠ 0,
-1/2 con x = 0;
b)
a = -1, reemplazas este valor en la expresión remarcada, y queda:
Lím(x→0) ( -1/(1+(-1)x) - b ) / (2x),
y como este límite debe existir y el denominador de su argumento tiende a cero, entonces tienes que debe cumplirse:
Lím(x→0) ( -1/(1+(-1)x) - b ) = 0,
resuelves este límite, y queda:
-1 - b = 0, y de aquí despejas: b = -1;
luego, tienes que la expresión de la función de tu enunciado queda:
f(x) =
(ln(1+(-1)x) - (-1)x)/x2 con 1+1x > 0 y x ≠ 0,
-1/2 con x = 0.
Espero haberte ayudado.
Alguien me ayuda con el ejercicio 1. No lo sé demostrar.
