Lo revisamos

tal cual lo veo los planos se cortan en una recta, existirá una recta paralela a ella que diste 2 unidades, por lo tanto infinitos puntos, no se si lo enfoco bien

Tienes una ecuación cartesiana implícita del primer plano, al cuál pertenecen los puntos buscados:

3*x - 2*y + z = 4 (1).

Has planteado correctamente la ecuación del segundo plano, junto con la expresión de su vector normal y su módulo:

-2*x - 6*y + 3*z + 3 = 0 (2), cuyo vector normal es: n₂ = < -2 ; -6 ; 3 >, cuyo módulo es: |n₂| = 7.

Luego, planteas la expresión general del un punto perteneciente al primer plano, y queda: P₁(X,Y,Z),

y observa que debe verificar la ecuación de su plano señalada (1), por lo que sustituyes las expresiones de sus coordenadas, y queda:

3*X - 2*Y + Z = 4, y de aquí despejas: Z = 4 - 3*X + 2*Y (3).

Luego, planteas la expresión de la distancia entre el punto P₁(X,Y,Z) y el segundo plano, que debe ser igual a dos según tu enunciado, y queda:

2 = |-2*X - 6*Y + 3*Z + 3|/7, multiplicas por 7 en ambos miembros, y queda:

14 = |-2*X - 6*Y + 3*Z + 3|, aquí sustituyes la expresión señalada (3), y queda:

14 = |-2*X - 6*Y + 3*(4 - 3*X + 2*Y) + 3|, distribuyes el último término y reduces términos semejantes en el argumento del valor absoluto, y queda:

14 = |-11*X + 15|;

luego, de acuerdo con la definición de valor absoluto, tienes dos opciones:

1°)

-14 = -11*X + 15, y de aquí despejas: X = 29/11 (4),

reemplazas el valor señalado (4) en la ecuación señalada (3), y queda:

Z = -43/11 + 2*Y, restas 2*Y en ambos miembros, y queda: -2*Y + Z = -43/11 (5);

luego, tienes un conjunto de puntos cuya gráfica es la recta intersección de los planos cuyas ecuaciones tienes indicadas (4) (5), cuyos vectores normales son:

N₁ = < 1 ; 0 ; 0 > y N₂ = < 0 ; -2 ; 1 >, cuyo producto vectorial es el vector director de la recta: u_r1 = < 0 ; -1 ; -2 >,

luego, signas el valor: Y = 0, lo reemplazas en la ecuación señalada (5), resuelves, y queda: Z = -43/11, y junto con el valor señalado (4), tienes las coordenadas de un punto perteneciente a la recta intersección: A₁(29/11,0,-43/11),

luego, con las componentes del vector director, y del punto perteneciente a la recta, planteas sus ecuaciones cartesianas paramétricas, y queda:

X = 29/11,

Y = -λ,

Z = -43/11 - 2*λ, 

con λ ∈ R.

2°)

14 = -11*X + 15, y de aquí despejas: X = 1/11 (4*),

reemplazas el valor señalado (4*) en la ecuación señalada (3), y queda:

Z = 41/11 + 2*Y, restas 2*Y en ambos miembros, y queda: -2*Y + Z = 41/11 (5*);

luego, tienes un conjunto de puntos cuya gráfica es la recta intersección de los planos cuyas ecuaciones tienes indicadas (4*) (5*), cuyos vectores normales son:

N₁ = < 1 ; 0 ; 0 > y N₂ = < 0 ; -2 ; 1 >, cuyo producto vectorial es el vector director de la recta: u_r1 = < 0 ; -1 ; -2 >,

luego, signas el valor: Y = 0, lo reemplazas en la ecuación señalada (5*), resuelves, y queda: Z = 41/11, y junto con el valor señalado (4*), tienes las coordenadas de un punto perteneciente a la recta intersección: A₂(1/11,0,41/11),

luego, con las componentes del vector director, y del punto perteneciente a la recta, planteas sus ecuaciones cartesianas paramétricas, y queda:

X = 1/11,

Y = -μ,

Z = 41/11 - 2*μ, 

con μ ∈ R.

Tal como indica el colega César, tienes remarcadas las dos rectas, que son paralelas a la recta que es intersección de los dos planos que tienes planteados, y que distan dos unidades de ella.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias 

Vamos con una orientación.

Has planteado correctamente la separación de variables, y te ha quedado la ecuación diferencial:

dy/(1+y²) = tan(t)*dt,

expresas a la tangente en función del seno y del coseno, y queda:

dy/(1+y²) = [sen(t)/cos(t)]*dt,

integras en ambos miembros, observa que en el segundo miembro debes aplicar la sustitución, o cambio de variable: u = cos(t), y queda:

arctan(y) = -ln(|cos(t)|) + C (1);

luego, a partir de la condición inicial de tu enunciado: y(0) = √(3), tienes los valores: t = 0, y = √(3), los reemplazas en la ecuación señalada (1), resuelves (observa que elegimos valores del primer cuadrante), y queda:

π/3 = -0 + C, cancelas el término nulo, y luego despejas:

C = π/3, 

que es el valor particular de la constante de integración para la condición inicial de tu enunciado;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

arctan(y) = -ln(|cos(t)|) + π/3, 

compones en ambos miembros con la función tangente, y queda:

y = tan(-ln(|cos(t)|) + π/3),

que es la expresión explícita de la solución general de la ecuación diferencial de tu enunciado, con la condición inicial indicada.

Espero haberte ayudado.

Porque se convierte arctg √3 en pi/3?

Tienes la inecuación:

x² ≥ x, restas x en ambos miembros, y queda:

x² - x ≥ 0, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

x*(x - 1) ≥ 0, 

por lo que tienes que la multiplicación de los dos factores del primer miembro debe ser ampliamente positiva, por lo que tienes dos opciones:

1°)

los dos factores son negativos  a la vez, por lo que puedes plantear que deben verificar las inecuaciones:

x ≤ 0, que corresponde al intervalo: (-∞;0],

x - 1 ≤ 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, y queda: x ≤ 1, que corresponde al intervalo: (-∞;1],

por lo que tienes que los elementos que verifican las dos inecuaciones cumplen la condición: x ≤ 0, y pertenecen al intervalo: I₁ = (-∞;0];

2°)

los dos factores son positivos a la vez, por lo que puedes plantear que deben verificar las inecuaciones:

x ≥ 0, que corresponde al intervalo: [0;+∞),

x - 1 ≥ 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, y queda: x ≥ 1, que corresponde al intervalo: [1;+∞),

por lo que tienes que los elementos que verifican las dos inecuaciones cumplen la condición: x ≥ 1, y pertenecen al intervalo: I₂ = [1;+∞).

Luego, con las condiciones que tienes remarcadas, y con los intervalos que tienes remarcados, tienes dos opciones para presentar el conjunto solución de la inecuación cuadrática de tu enunciado:

S = { x ∈ R ; x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 },

S = I1 ∪ I2, de donde tienes: S = (-∞;0] ∪ [1;+∞).

Espero haberte ayudado.

Por favor, verifica que el enunciado esté correctamente consignado para que podamos ayudarte.

El problema de cauchy es y'=2√y+1cost

Es el apartado d)

Tienes la ecuación diferencial:

y' = √(y+1)*cost (1),

con la condición inicial:

y(π) = 0 (2).

Luego, expresas al primer miembro de la ecuación señalad (1) como un cociente entre diferenciales, separas variables, y queda:

dy/√(y+1) = cost*dt,

multiplicas por 1/2 en ambos miembros, y queda:

dy/[2*√(y+1)] = (1/2)*cost*dt,

integras en ambos miembros, y queda:

√(y+1) = (1/2)*sent + C (3);

luego, con la condición inicial señalada (2) tienes los valores: t = π, y = 0, reemplazas, resuelves términos, y queda:

1 = 0 + C, cancelas el término nulo, y luego despejas:

C = 1,

que es el valor particular de la constante de integración para la condición inicial indicada en tu enunciado;

luego, reemplazas este valor remarcado en la ecuación señalada (3), y quead:

√(y+1) = (1/2)*sent + 1,

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

y + 1 = [(1/2)*sent + 1]²,

restas 1 en ambos miembros, y queda:

y = [(1/2)*sent + 1]² - 1,

que es una expresión explícita de la solución particular de la ecuación diferencial con condición inicial, que tienes en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

En el enunciado hay un 2 por delante de la raíz o por qué lo eliminas?

Vamos con una orientación.

Has planteado bien, aunque en forma algo confusa, la separación de variables, y te ha quedado la ecuación diferencial:

(2*y + 1)*dy = (3*t² + 4*t + 2)*dt,

integras en ambos miembros, simplificas en cada término, y queda:

y² + y = t³ + 2*t² + 2*t + C,

sumas 1/4 en ambos miembros, y queda:

y² + y + 1/4 = t³ + 2*t² + 2*t + C + 1/4,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, expresas a la suma de constantes del segundo miembro (C + 1/4) como una nueva constante, y queda:

(y + 1/2)² = t³ + 2*t² + 2*t + k, con k ∈ R,

y luego puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

ah, muchas gracias, Porque hay que dividir entre 1/4?

Esto lo han puesto hoy en la 1ª fase de la Olimpiada Matemática Española.

Está perfecto !!