Si te piden presentar la ecuación de la superficie gráfica de la función, es tal cuál dices, ya que a la función cuya expresión es: f(x,y) = -x*y, le corresponde una gráfica que es un paraboloide hiperbólico rotado.

Pero, como en tu ejercicio solamente te pedían identificar a la familia de curvas de nivel, es razonable presentar la respuesta tal como lo hemos hecho en tu entrada anterior.

Espero haberte ayudado.

Pero a la hora de hacer la gráfica que viene como respuesta, aparte de esa venía la gráfica de las curvas de nivel, tengo que hacer el desarrollo para obtener la gráfica de la función? Porque cuando vi esas como parábolas que hacen los huecos no entendía el porqué. 

Profe  como planteo el limite del ejercicio d? seria tendiendo  r = raiz(x*x + y*y) que tiende a 0? no estoy seguro, me gustaria poder visualizarlo mejor para poder resolverlo. 

Buenas

Si no te das cuenta que se puede hacer una factorización previa, que es agrupar la x menos que se repita en el polinomio (en este caso x), se procede así:

2 -9 -5 0, y operas como siempre.

Si hago la factorización, pues x(2x^2-9X-5), y hago Ruffini del paréntesis, y x ya es un factor. 

Gracias David por la ayuda. El resultado de la factorización sería x(2x+1)(x-5). A partir de ahí obtengo las raíces: x = 0, x = -½, x = 5

De nada. 

Son correctos los resultados, y puedes autocorregírtelos sustituyendo los valores de x en los cuales su suma debe valer cero.

Ej: X=2*(5)^3-9*(5)^2-5*(5)=2*125-9*25-5*5=250-225-25=0 y compruebas que da correcto. Y con la fracción lo mismo y también da.

Muchas gracias 

Ese ejercicio esta resuelto en youtube por si acaso, te paso el link:

https://www.youtube.com/watch?v=DIVUIxFmuCI

Te dice, "utilizando la grafica". No necesitas resolver ninguna ecuacion.
x³ + 6x² - x +30 > 0 para todos los valores de x cuya imagen es positiva. La solucion sería x>-6.8 o expresada de otra forma (-6.8 , ∞)
Y para x³ + 6x² - x +30 ≤ 50, la solución sería (-∞, -5.53) U ( -2.15 , 1.68)

En esta página te lo resuelven:

https://matrixcalc.org/es/

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión de la función de dos variables:

f(x,y) = 9*x² + y²,

cuya gráfica es un paraboloide elíptico, con vértice: V(0,0,0), y eje de simetría OZ positivo, cuya ecuación cartesiana es:

z = 9*x² + y² (1) (te dejo la tarea de esbozar esta gráfica.

a)

Planteas la ecuación general de las curvas de nivel de la función:

f(x,y) = k, reemplazas la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

9*x² + y² = k, con k ∈ R, 

observa que en el primer miembro de esta última ecuación tienes una suma de términos positivos, por lo que puedes presentar a la familia de curvas de nivel de la función en la forma:

9*x² + y² = k (2), con k ∈ R, k ≥ 0,

que es la ecuación general de una familia de elipses con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano OXY, o de un plano paralelo al mismo;

luego, reemplazas los valore correspondientes de la función en el segundo miembro de la ecuación señalada (2), y queda:

i)

9*x² + y² = 0,

que corresponde al origen de coordenadas del plano OXY (en este caso tienes una elipse degenerada a su centro de simetría);

ii)

9*x² + y² = 1, que puedes escribir en la forma:

9*x²/1 + y² = 1, divides por 9 en el numerador y en el denominador del primer miembro, y queda:

x²/9 + y² = 1,

que es la ecuación de una elipse con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano paralelo al plano OXY cuya ecuación es: z = 1, con semieje mayor cuya longitud es: a = 3 incluido en el eje OX de dicho plano, y con semieje menor: b = 1 incluido en el eje OY de dicho plano;

iii)

9*x² + y² = 9, divides por 9 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

x² + y²/9 = 1,

que es la ecuación de una elipse con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano paralelo al plano OXY cuya ecuación es: z = 9, con semieje mayor cuya longitud es: a = 3 incluido en el eje OY de dicho plano, y con semieje menor: b = 1 incluido en el eje OX de dicho plano.

b)

Reemplazas los valores de las abscisas indicadas en la expresión de la gráfica de la función señalada (1), y queda:

i)

z = 9*(-1)² + y², resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

z = y² + 9,

que es la ecuación de una parábola con vértice (0,9), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x = -1;

ii)

z = 9*1² + y², cancelas el término nulo, y queda:

z = y²,

que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas, incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x =0;

iii)

z = 9*1² + y², resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

z = y² + 9,

que es la ecuación de una parábola con vértice (0,9), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x =1.

c)

Reemplazas los valores de las ordenadas indicadas en la expresión de la gráfica de la función señalada (1), y queda:

i)

z = 9*x² + (-1)², resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

z = 9*x² + 1,

que es la ecuación de una parábola con vértice (0,1), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: y = -1;

ii)

z = 9*x² + 0², cancelas el término nulo, y queda:

z = 9*x²,

que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas, incluida en el plano paralelo al plano OXZ, cuya ecuación es: y = 0;

iii)

z = 9*x² + 1², resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

z = 9*x² + 1,

que es la ecuación de una parábola con vértice (0,1), incluida en el plano paralelo al plano OXZ, cuya ecuación es: y =1.

Espero haberte ayudado.