Pon lo que has hecho para el apartado b

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y tienes la expresión de la función derivada primera:

y ' = √(√(x) - 1);

luego, plantea la expresión del cuadrado del diferencial de longitud de arco de curva:

ds² = ( 1 + ( y ' )² )*dx², sustituyes y simplificas índice y exponente en el segundo término, y queda:

ds² = ( 1 + √(x) - 1 )*dx², cancelas términos semejantesopuestos, y queda:

ds² = √(x)*dx², haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

ds = ⁴√(x)*dx, expresas a la raíz como potencia, y queda:

ds = x^1/4*dx, que es la expresión del diferencial de longitud de arco de curva.

Luego, plantea la expresión de la longitud de la curva:

L_C = ₁∫¹⁶ x^1/4*dx, integras (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

L_C = [ (4/5)*x^5/4 ], evalúas y queda:

L_C = (4/5)*16^5/4 - (4/5)*1^5/4 = (4/5)*32 - (4/5)*1 = 128/5 - 4/5 = 124/5.

Espero haberte ayudado.

Ayudas:

Comienza por estudiar el límite para caminos rectos que pasen por el origen, cuya ecuación general es: y = m*x, con x ∈ R, y queda:

L = Lím(x→0) ( x³ - (m*x)² ) / ( x² + (m*x)² ) = 

distribuyes las potencias cuyas bases son multiplicaciones, y queda:

= Lím(x→0) ( x³ + m²*x²) / ( x² + m²*x² ) =

extraes factores comunes en el numerador y en el denominador, y queda:

= Lím(x→0) ( x²*(x + m²) ) / ( x²*(1 + m²) ) =

simplificas, y queda:

= Lím(x→0) (x + m²)/(1 + m²) =

resuelves, y queda:

= m²/(1 + m²),

que es una expresión que depende de la pendiente de los caminos,

por lo que puedes concluir que el límite de tu enunciado no existe;

y para verificar, eliges dos valores distintos del coeficiente (pendiente) m, por ejemplo m = 0 y m = 1, y queda:

L = 0, para m = 0,

L = 1/2, para m = 1,

por lo que tienes que dos caminos diferentes conducen a límites distintos.

Espero haberte ayudado.