Representación para a=3

Aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y la expresión de la función queda:

f(x) = arctan( 1/(x-a) ), cuyo dominio es: D = R - {a} = (-∞,a) u (a,+∞).

Luego, compones en ambos miembros con  la función inversa del arco tangente, y queda:

tan( f(x) ) = 1/(x-a), expresas a la tangente en función de la cotangente, y queda:

1/cotg( f(x) ) = 1/(x-a), haces pasajes de divisores como factores, y queda:

x-a = cotg( f(x) ), compones en ambos miembros con la función inversa de la cotangente, y queda:

arccotg(x-a) = f(x);

por lo que tienes que una expresión equivalente de la función de tu enunciado es:

f(x) = arccotg(x-a), cuyo dominio es: D = R - {a} = (-∞,a) u (a,+∞).

1)

Asíntotas Horizontales:

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) arccotg(x-a) = 0,

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) arccotg(x-a) = 0,

por lo que tienes que la recta cuya ecuación es:

y = 0,

es asíntota horizontal de la gráfica de la función, por izquierda y por derecha.

2)

Asíntotas Verticales:

Lím(x→a-) f(x) = Lím(x→a-) arccotg(x-a) = -∞,

Lím(x→a+) f(x) = Lím(x→a+) arccotg(x-a) = +∞,

por lo que tienes que la recta cuya ecuación es:

x = a,

es asíntota vertical de la gráfica de la función, inferiro por izquierda y superior por derecha.

3)

Monotonía:

Planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = -1/( 1+(x-a)² ),

y observa que su denominador es estrictamente positivo y, como su numerador es igual a -1, tienes que la función derivada primera toma valores negativos, por lo que es decreciente en los dos subintervalos de su dominio.

4)

Curvatura:

Planteas la expresión de la función derivada segunda, y queda:

f ' ' (x) = 2*(x-a) / ( 1+(x-a)² )²,

y observa que su denominador es estrictamente positivo, por lo que tienes dos opciones a partir del signo de la expresión que tienes en el numerador (observa que el numerador es distinto de cero en todo el dominio de la función):

4a)

2*(x-a) > 0, haces pasaje de factor como divisor, y luego haces pasaje de término, y queda: x > a,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: (a,+∞);

4b)

2*(x-a) < 0, haces pasaje de factor como divisor, y luego haces pasaje de término, y queda: x < a,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo: (-∞,a),

Espero haberte ayudado.

Abriendo en vídeos el que te interese, debajo pone material adicional. Ahí tienes ejercicios y teoría.

Gracias. Si logro aprobar va a ser por vosotros

Eso no está bien.

e^4ln(x) = e^ln(x)∧4 = x⁴

Es correcto ya que e elevado al ln de cualquier numero sera igual a ese numero.

Todos los vectores del espacio  cuyo producto vectorial por w es el vector nulo son los vectores colineales con w, es decir, la recta vectorial (subespacio de dimensión 1) generada por w.

Infinitas. Cada 2pi (el período).

B)

Planteas la ecuación punto-pendiente de la recta r, y queda:

y - 3 = m*(x + 2) (1).

Planteas la condición de ordenada nula (y = 0), reemplazas en la ecuación de la recta s, cancelas el término nulo, y queda:

-2*x + (2*m - 4) = 0, haces pasaje de término, y queda:

-2*x = -(2*m - 4), multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

2*x = 2*m - 4, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

x = m - 2, por lo que el punto de intersección de la recta s con el eje OX queda:

Q( (m - 2) , 0 ),

y la ecuación de la recta t, que es paralela al eje OY y pasa por el punto Q queda:

x = m - 2, haces pasajes de términos, y queda:

-m = -x - 2, multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:

m = x + 2 (2).

Luego, a fin de plantear la intersección entre la recta t y la recta r, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

y - 3 = (x + 2)*(x + 2), reduces factores semejantes en el segundo miembro, y queda:

y - 3 = (x + 2)²,

que es una ecuación cartesiana de una parábola con eje paralelo al eje OY, con vértice V(-2,3), con ssu ramas hacia arriba.

Espero haberte ayudado.

Tienes la inecuación:

(x - 2)*(x² + 4y² - 16) ≥ 0, extraes factor común 16 en el segundo factor, y queda:

(x - 2)*16*(x²/16 + y²/4 - 1) ≥ 0, 

divides por 16 en ambos miembros de la inecuación (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

(x - 2)*(x²/16 + y²/4 - 1) ≥ 0;

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones (observa que el producto en el primer miembro debe ser positivo):

1)

x - 2 ≥ 0 y x²/16 + y²/4 - 1 ≥ 0, haces pasajes de términos en ambas inecuaciones, y queda:

x ≥ 2 y x²/16 + y²/4 ≥ 1;

observa que la primera inecuación corresponde a un semiplano, cuyos puntos se encuentran a la derecha de la recta cuya ecuación es x = 2, y observa que la segunda inecuación corresponde a la región exterior al disco elíptico con centro de simetría (0,0), semieje mayor horizontal: a = 4, y semieje menor vertical: b = 2, por lo que tienes el conjunto de los puntos del semiplano que son exteriores al disco elíptico, con los puntos de sus bordes pertenecientes a él;

2)

x - 2 ≤ 0 y x²/16 + y²/4 - 1 ≤ 0, haces pasajes de términos en ambas inecuaciones, y queda:

x ≤ 2 y x²/16 + y²/4 ≤ 1;

observa que la primera inecuación corresponde a un semiplano, cuyos puntos se encuentran a la izquierda de la recta cuya ecuación es x = 2, y observa que la segunda inecuación corresponde a la región interior al disco elíptico con centro de simetría (0,0), semieje mayor horizontal: a = 4, y semieje menor vertical: b = 2, por lo que tienes el conjunto de los puntos del semiplano que son interiores al disco elíptico, con los puntos de sus bordes pertenecientes a él;

luego, tienes que el conjunto solución es la unión de los dos conjuntos:

S = { (x,y) ∈ R² / [ x ≥ 2 y x²/16 + y²/4 ≥ 1 ] o [ x ≤ 2 y x²/16 + y²/4 ≤ 1 ] },

y queda que hagas la representación gráfica.

Espero haberte ayudado.