Creo que no es tan sencillo. Además, si no dices de qué comunidad es el examen de Selectividad (ya que son diferentes en cada región), difícilmente se te podrá ayudar.

Vamos por pasos

1°)

Considera la región limitada por las curvas cuyas ecuaciones son: y = x² e y = 4, 

y observa que sus vértices son los puntos: A(-2,4) y B(2,4), cuya área queda expresada:

A₁ = ∫ (4 -x²)*dx = [ 4x - x³/3 ] = evalúas entre -2 y 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3 - (-16/3) = 32/3.

2°)

Considera la región limitada por las curvas cuyas ecuaciones son: y = x² e y = c, 

y observa que sus vértices son los puntos: C(-√(c),c) y D(√(c),c), cuya área queda expresada:

A₂ = ∫ (c -x²)*dx = [ cx - x³/3 ] = evalúas entre -√(c) y √(c) = (c√(c) - (-√(c))³/3) - (-c√(c) + (√(c))³/3) = 2c√(c) - 2(√(c))³/3 =

= 2c√(c) - 2c√(c)/3 = 4c√(c)/3.

3°)

Luego, tienes la relación entre las áreas de las dos regiones:

A₂ = (1/2)*A₁, sustituyes expresiones, y queda:

4c√(c)/3 = (1/2)*(32/3), resuelves el segundo miembro, y queda:

4c√(c)/3 = 16/3, multiplicas en ambos miembros por 3/4, y queda:

c√(c) = 4, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

c²*c = 16, resuelves el producto de potencias con bases iguales, y queda:

c³ = 16, haces pasaje de potencia como raíz, y queda:

c = ∛(16).

Espero haberte ayudado.

Pon el enunciado original o emplea paréntesis correctamente.

Pon foto del enunciado original completo y veremos.

Distancia mínima entre dos rectas que se cruzan

Es mejor que pongas foto de los enunciados originales.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

1)

Tienes la integral:

I = 10⁶*∫∫_R x*dx*dy = pasas a coordenadas polares = 10⁶*∫∫_R r*cosθ*r*dr*dθ = 10⁶*∫∫_R r²*cosθ*dr*dθ, con los intervalos de integración:

0 ≤ r ≤ θ/(2π), 0 ≤ θ ≤ π/2.

Resuelves la integral para la variable r, y queda:

I = ( 10⁶/(6π) ) * ∫ θ³*cosθ*dθ,

luego, planteas el Método de Integración por Partes:

u = θ³, de donde tienes: du = 3θ²*dθ,

dv = cosθ*dθ, de donde tienes v = senθ,

luego, aplicas el método y la integral queda:

I = ( 10⁶/(6π) ) * ( θ³*senθ - 3*∫ θ²*senθ*dθ,

luego, debes aplicar el método nuevamente para resolver la integral secundaria (y si lo haces, observarás que deberás hacerlo dos veces más), hasta llegar a la expresión que debe evaluar entre 0 y π/2 (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

2)

Plantea el cambio a coordenada esféricas con eje OZ:

x = ρ*senφ*cosθ,

y = ρ*senφ*senθ,

z = ρ*cosφ,

cuyo factor de compensación (Jacobiano) es: |J| = ρ²*senφ;

con los intervalos de integración:

0,9 ≤ ρ ≤ 1,

0 ≤ φ ≤ π,

0 ≤ θ ≤ π,

luego, tienes la integral:

I = ∫∫∫_B ( y/(x²+y²+z²) )*dx*dy*dz, haces el cambio de coordenadas, y queda:

I = ∫∫∫_B (ρ*senφ*senθ/ρ²)*ρ²*senφ*dρ*dφ*dθ = simplificas =  ∫∫∫_B (ρ*sen²φ*senθ)*dρ*dφ*dθ,

luego, debes aplicar la identidad trigonométrica: sen²φ = (1/2)*( 1 - cos(2φ) ), para integrar con respecto a la variable φ,

y tienes que las integrales con respecto  a la variable ρ y a la variable θ son directas (te dejo la tarea de hacer los cálculos).

Espero haberte ayudado.

Tienes que revisar seriamente el Álgebra elemental:

gracias!!!!!