Pon enunciado original, Antoniio.

1)

Observa que la función toma valores positivos, de acuerdo con el gráfico, en el intervalo [-1,1]. Luego, su ecuación explícita (despejas a partir de la ecuación del enunciado) queda:

y = +√(1-x²).

Luego, plantea el área comprendida entre la gráfica de la función (recuerda que es positiva) y el eje coordenado OX, cuya ecuación cartesiana es y = 0:

A = ∫ (√(1-x²) - 0) dx, para evaluar entre - 1 y 1.

Luego, te dejo la tarea de concluir el ejercicio, y observa que puedes plantear la sustitución trigonométrica:

x = senw.

2)

Observa que la función toma valores negativos en el intervalo D₁ = [-π/2,0),

y que toma valores positivos en el intervalo D₂ = (0,π/2].

Por lo tanto, plantea el área delimitada por la gráfica de la función y el eje coordenado OX para cada sector por separado, y luego suma los resultados, por lo que tienes:

A = A₁ + A₂  (1).

Luego, pasamos al planteo:

A₁ = ∫ (0 - senx) dx = ∫ (- senx) dx = [ cosx ] = evaluas = cos(0) - cos(π/2) = 1 - 0 = 1;

A₂ = ∫ (senx - 0) dx = ∫ (senx) dx = [ - cosx ] = evaluas = - cos(π/2) - ( - cos(0) ) = - 0 - (- 1) = 1.

Luego reemplazas en la ecuación señalada (1) y queda:

A = 1 + 1 = 2.

Espero haberte ayudado.

Perfecto!!, me servirá mucho, gracias por responder! 

n=1 => 102-9·1-10 = 81 múltiplo de 81

n=2 => 10³-9·2-10 = 972=81·12 múltiplo de 81

n=3 => 10⁴-9·3-10 = 9963=81·123 múltiplo de 81

n => 10ⁿ⁺¹-9·n-10 =81·m múltiplo de 81

n+1 => 10ⁿ⁺²-9·(n+1)-10 = 10·10ⁿ⁺¹-9·n-9-10 = 10·10ⁿ⁺¹-9·n-19 =

=10·10ⁿ⁺¹-9·n-19 -81n +81n-81+81 =

=10·10ⁿ⁺¹-90·n-100 +81n+81 = 10·(10ⁿ⁺¹-9·n-10) +81n+81=

=10·(10ⁿ⁺¹-9·n-10) +81(n+1) = 10·81m+81(n+1)=

= 81(10m+n+1) múltiplo de 81 c.q.v.

n=1 => 1²-1 = 0 divisible por 2

n=2 => 2²-2 = 2 divisible por 2

n=3 => 3²-3 = 6divisible por 2

n => n²- n  divisible por 2 =>  n²- n = 2m

n+1 => (n+1)²-(n+1) = n²+2n+1-n-1 =  n²+ n =  (n²- n)  + 2n = 2m +2n = 2(m+n)  divisible por 2 c.q.v.

si m=1 la primera y segunda columna son una el doble de la otra

y si m=0.5 la primera y segunda fila son tb una el doble de la otra

Pero tengo que justificarlo, cómo se justificaría por determinantes? 

Haz el determinante, te saldrá un polinomio de segundo grado, iguálalo a cero, tendrás ahora una ecuación de segundo grado, resuelve dicha ecuación, obtendrás dos valores (1 y 1/2)

Estos valores son los valores de m para que el determinante se anule

por lo tanto para cualquier valor de m distinto a 1 y a 1/2 el rango es 3 pues su determinante es no nulo

para esos valores lo tendrás que estudiar por separado pero te adelanto que el rango es 2 en ambos casos

A³+A-I=0

A³+A=I

A(A²+I)=I  => A^-1= A²+I 

____

9= det A²=(det A)²=> det A = ±3  => det A^-1=±1/3

____

det(A²+I) = det (A^-1) = ±1/3

Te equivocaste al final. La última fila es -1,  5, no -1  27

El resultado es -14.

Con qué apartado necesitas ayuda, Sofia?

Para el último límite, sólo evalúa en x=1, no existe indeterminación alguna.

Una vuelta de circunferencia son 360º y no se puede exceder de eso, por los que los 3390 hay que dividirlo entre 360º, que queda 11 con algo, y ese pico se multiplica por los 360º y queda 30º. El resto de casos se hace igual.

Para 9PI lo pasas a grados con una simple regla de tres: PI  --> 180º  

                                                                                                   9PI --> xº y despejas directamente.

Te queda 1620, que tienes que hacer el primer paso, hay que dividirlo entre 360º, que queda 4,5 , y ese 0.5 se multiplica por los 360º y queda 180º. Luego haces el seno, coseno y tangente de ese angulo (180º) y lo que te de.

En este caso, conviene aprenderse 

Sen (0º)= 0

Cos (0º)= 1

Sen (90º)= 1

Cos (90º)= 0

Sen (180º)= 0

Cos (180º)= -1

Sen (270º)= -1

Cos (270º)= 0

Y para el 360º vuelve a ser 0, pero si te dejan calculadora, puedes hacerlo con ella y no aprenderte esto.