Considera un punto genérico perteneciente a la curva: P(x,y), por lo que tienes la relación entre sus coordenadas: x = y2 (1).
Luego, plantea la distancia entre dicho punto y el punto A(3/2,0):
d(A,P) = √( (x - 3/2)2 + (y - 0)2 ) = √(x2 - 3x + 9/4 + y2).
Luego sustituye la expresión señalada (1) y queda:
d(A,P) = √( (y2)2 - 3y2 + 9/4 + y2 ) = √(y4 - 2y2 + 9/4). (2)
Luego, plantea la función distancia cuadrática:
f(y) = ( d(A,P) )2, sustituyes la expresión señalada (2) y queda:
f(y) = ( √(y4 - 2y2 + 9/4) )2, simplificas índice de raíz y exponente de potencia y queda:
f(y) = y4 - 2y2 + 9/4, que es la expresión de una función polinómica bicuadrática,
luego plantea las expresiones de sus derivadas primera y segunda:
f ' (y) = 4y3 - 4y,
f ' ' (y) = 12y2 - 4.
Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):
f ' (y) = 0, sustituyes y queda:
4y3 - 4y = 0, factorizas y queda:
4y(y - 1)(y + 1) = 0, luego, por anulación de un producto, tienes tres opciones:
a)
y = 0, evalúas para él la derivada segunda y queda: f ' ' (0) = - 4 < 0,
por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo,
por lo que presenta un máximo relativo en este punto,
luego reemplazas en la expresión señalada (1) y queda: x = 02= 0,
y el valor de la función para él es: f(0) = 9/4 (3).
b)
y = 1, evalúas para él la derivada segunda y queda: f ' ' (1) = 8 > 0,
por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba,
por lo que presenta un mínimo en este punto,
luego reemplazas en la expresión señalada (1) y queda: x = 12 = 1,
y el valor de la función para él es: f(1) = 5/4 (4).
c)
y = - 1, evalúas para él la derivada segunda y queda: f ' ' (- 1) = 8 > 0,
por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba,
por lo que presenta un mínimo en este punto,
luego reemplazas en la expresión señalada (1) y queda: x = (- 1)2 = 1,
y el valor de la función para él es: f(1) = 5/4 (3).
Luego, tienes que los valores mínimos de la función se presentan en las opciones:
b)
y = 1, para el que la función toma el valor: f(1) = d(A,Pb)2 = 5/4,
haces pasaje de potencia como raíz y queda: d(A,Pb) = √(5/4) = √(5)/2.
Observa que el punto tiene coordenadas: Pb(1,1)
c)
y = - 1, para el que la función toma el valor: f(- 1) = d(A,Pc)2 = 5/4,
haces pasaje de potencia como raíz y queda: d(A,Pc) = √(5/4) = √(5)/2.
Observa que el punto tiene coordenadas: Pc(1,-1).
Haz un gráfico de la función f, y verás que los puntos que hemos señalado corresponden a sus mínimos absolutos.
Espero haberte ayudado.
