Esta es una ecuación trascendente, que no puede resolverse con los métodos usuales
Observa que podemos presentarla en la forma:
f(x) = 0,
donde la expresión de la función es:
f(x) = x2ex - 1,
que es una función continua y también derivable)en el conjunto de los números reales.
Observa que la expresión de su derivada primera queda:
f ' (x) = 2xex + x2ex = xex(2 + x).
Observa que la expresión de la derivada segunda queda:
f ' ' (x) = 2ex + 2xex + 2xex + x2ex = 2ex + 4xex + x2ex = (2 + 4x + x2)ex.
luego planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):
f ' (x) = 0, sustituyes y queda:
xex(2 + x) = 0, haces pasaje del segundo factor como divisor (observa que es estrictamente positivo) y queda:
x(2 + x) = 0, luego, por anulación de un producto tienes dos opciones:
a)
x = 0, evalúas para él la derivada segunda y queda f ' ' (0) = 2 > 0,
por lo que tienes que la gráfica es cóncava hacia arriba en este punto,
por lo que tienes que la función presenta un mínimo en x = 0,
y el valor de la función para él es: f(0) = - 1;
b)
x = - 2, evalúas para él la derivada segunda y queda: f ' ' (- 2) = - 2e-2 < 0,
por lo que tienes que la gráfica es cóncava hacia abajo en este punto,
por lo que tienes que la función presenta un máximo en x = - 2,
y el valor de la función para él es: f(-2) = 4e-2 - 1 ≅ - 0,46.
Luego, observa que los límites tendiendo a infinito quedan (te dejo los cálculos):
Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) (x2ex - 1) = - 1,
Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) (x2ex - 1) = +∞.
Luego, si completas el estudio, tienes que la gráfica de la función f es:
creciente en el intervalo (-∞.-2),
el valor máximo de la función se presenta en x = - 2 y es f(-2) = - 0,46 aproximadamente,
decreciente en el intervalo (-2,0),
el valor mínimo de la función se presenta en x = 0 y es f(0) = - 1,
y observa que la función toma valores negativos en el intervalo (-∞.0).
creciente en el intervalo (0,+∞),
y como el límite tendiendo a +infinito de la función es + infinito,
tienes que en algún punto c perteneciente al intervalo (0,+∞) la función corta a eje OX,
y observa que lo corta una sola vez, ya que la función es creciente en este intervalo.
y por lo tanto tienes:
f(c) = 0, sustituimos y queda
c2ec - 1 = 0.
Luego, has mostrado la existencia del único valor c que verifica la ecuación del enunciado.
Y para acotar su valor, tenemos:
f(0) = - 1 < 0 (que ya hemos calculado),
f(1) = e - 1 ≅ 2,72 > 0,
luego, por el Teorema de Bolzano, tenemos que la solución c pertenece al (0,1).
Espero haberte ayudado.
