Si pones el enunciado original, te podremos ayudar mejor.

Porque el numerador es de grado superior al numerador ya sabemos que va a dar + o - infinito. El límite dice que tiende a -infinito. 

Si sustituyes x^3 por menos infinito te dará -infinito.

Si fuese x^2 te daría +infinito, porque (-1)*(-1)=+1

Si tengo algo mal que alguien me corrija, gracias.

Lo que más me asusta es que en la resolución ha utilizado la fórmula de la ecuación continua cuando uno de los componentes del vector es nulo (0). Esa forma solo se puede utilizar si ningún componente es nulo.

Cuando tenemos expresado un plano con su fórmula general, el vector normal a ese plano (el perpendicular) se puede obtener directamente del plano. En ese caso concreto el plano es x +0y -2z +3 = 0. Los componentes del vector NORMAL al plano son (1, 0, -2).

Utilizando ese vector y el punto 0, 0, 0 podemos hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano. La más utilizada es la paramétrica.

x=t

y=0

z=-2t

En algunos textos la utilizan considerando que no se trata de una división efectuable, sino una proporción. Esto es,:

x/1=y/0=z/-2

Equivale a:

y=0,  2x+z=0

Una raíz cuadrada tendrá resultado cuando en su interior exista un número positivo o cero.

Si en el numerador tienes un número negativo y en el denominador tienes un número negativo, el resultado de esa división será positiva, por lo que tendrá resultado.

En tu resolución tienes bien una parte, en la que dices que tendrá solución en un intervalo de (5/3, inf). Pero te falta calcular el intervalo para el que los valores del numerador y del denominador serán AMBOS negativos.

Te tiene que dar una solución final tal que Dom f = (-inf, -2] unión (5/3, inf).

Ten en cuenta que el valor x=-2 está incluido porque la raíz cuadrada de 0 es 0, y existe.

¿Me podéis poner una linea, como la que yo dibujo, (de -inf a +inf) explicándolo? ¿A qué tengo que igualar  el numerador y a qué el denominador? 

Cuál es: el limite de x^{1/n} o el límite de (1)/(x^n)?

A^200 no da eso, César. Hay que premultiplicar por P y postmultiplicar por P^-1, y no funciona la conmutativa.

Si te fijas en los apartados a), b) y d), te queda siempre en el numerador y el denominador con x de mismo grado y con el mismo número multiplicando a las x. Por ejemplo, en el a es 4x/4x, en el b 3x/3x. El límite de 3x/3x va a darte 1. 

En el apartado c) tienes 2x/x, ese límite cuando x tiende al infinito es 2.