Hacemos una precisión, por medio de un ejemplo:
f(x,y) =
xy/(x2+y2) (x,y) ≠ (0,0)
0 (x,y) = (0,0).
Observa que el dominio de la función es R2, y observa que la función está definida en el origen de coordenadas, pero el límite para (x,y) tendiendo a (0,0) no existe, por lo que la función no es continua en el origen de coordenadas, y por lo tanto, tampoco es diferenciable en dicho punto..
Pasamos al cálculo de las derivadas parciales en el origen:
fx(0,0) = Lím(h→0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h = Lím(h→0) ( f(h,0) - f(0,0) )/h =
(observa que el primer término del numerador se evalúa en la primera rama de la expresión)
= Lím(h→0) ( h*0/(h2 + 0) )/h = Lím(h→0) (0/h2)/h = Lím(h→0) (0/h3) = 0.
fy(0,0) = Lím(k→0) ( f(0,0+k) - f(0,0) )/k = Lím(k→0) ( f(0,k) - f(0,0) )/k =
(observa que el primer término del numerador se evalúa en la primera rama de la expresión)
= Lím(k→0) ( 0*k/(k2 + 0) )/k = Lím(k→0) (0/k2)/k = Lím(h→0) (0/k3) = 0.
Observa, que en este ejemplo tratamos con una función que no es continua en el origen, pero si admite derivadas parciales en el origen.
Por lo tanto, tenemos que hay funciones que no son continuas en un punto pero si admiten derivadas parciales en dicho punto.
Espero haberte ayudado.
quien puede colaborarme, puedo realizar sustitucion trigonometrica, o completar un cuadrado aunq lo veo tan complicado hacerlo necesito ayudaaaa
