12-2. Vamos con una orientación.

Planteamos el problema en dos etapas:

1°) Elegimos los cinco lugares que ocuparán los niños.

2°) Ordenamos a los cinco niños en los cinco lugares que hemos elegido.

Vamos:

1°) Numeramos las sillas del uno al doce, y vemos que las posibles ubicaciones son:

1 3 5 7 9 - 1 3 5 7 10 - 1 3 5 7 11 - 1 3 5 7 12 -

1 3 5 8 10 - 1 3 5 8 11 - 1 3 5 8 12 -

1 3 5 9 11 - 1 3 5 9 12 -

1 3 5 10 12                                                                         10 opciones

1 3 6 8 10 - 1 3 6 8 11 - 1 3 6 8 12 -

1 3 6 9 11 - 1 3 6 9 12 -

1 3 6 10 12 -                                                                          6 opciones

1 3 7 9 11 - 1 3 7 9 12 - 

1 3 7 10 12 -                                                                       3 opciones

1 3 8 10 12 -                                                                         1 opción

1 4 6 8 10 - 1 4 6 8 11 - 1 4 6 8 12 -

1 4 6 9 11 - 1 4 6 9 12 -

1 4 6 10 12 -                                                                       6 opciones

1 4 7 9 11 - 1 4 7 9 12 -

1 4 7 10 12 -                                                                       3 opciones

1 4 8 10 12 -                                                                      1 opción

1 5 7 9 11 - 1 5 7 9 12 -

1 5 7 10 12 -                                                                       3 opciones

1 5 8 10 12 -                                                                      1 opción

2 4 6 8 10 - 2 4 6 8 11 - 2 4 6 8 12 -

2 4 6 9 11 - 2 4 6 9 12 -

2 4 6 10 12 -                                                                       6 opciones

2 4 7 9 11 - 2 4 7 9 12 -

2 4 7 10 12 -                                                                     3 opciones

2 4 8 10 12 -                                                                      1 opción

2 5 7 9 11 - 2 5 7 9 12 -

2 5 7 10 12 -                                                                    3 opciones

2 6 8 10 12 -                                                                      1 opción

3 5 7 9 11 - 3 5 7 9 12 -

3 5 7 10 12 -                                                                    3 opciones        

4 6 8 10 12                                                                       1 opción

Observa que tienes en total: N₁ = 52 opciones para ubicar los cinco niños sin que dos o más de ellos estén juntos.

2°) Permutamos a los cinco niños en los cinco lugares que hemos elegido, y tenemos:

N₂ = V(5,5) = 5! / (5-5)! = 5!/0! = 120/1 = 120 opciones.

Luego, por el principio de multiplicación, tenemos que la cantidad de opciones totales que tenemos para ubicar cinco niños en doce sillas, en tal forma que dos o más de ellos no estén juntos queda:

N = N₁*N₂ = 52*120 = 6240.

Espero haberte ayudado.

Me ha ayudado mucho mas de lo que pueda pensar, mil gracias Antonio!

1!/1² +  2!/2²       +       3!/3²        + 4!/4² =

1/1   + (2*1)/4    + (3*2*1)/9  + (4*3*2*1)/16=

1        +     2/4      +     6/9       +     24/16   =

144/144 + 72/144 + 96/144    +   216/144=

528/144= 66/18=  11/3

https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/tg2x%20%3D%203%20tgx

C=(d,c)

Altura de segmentos:

AB: es la recta con ecuación x=d

BC: es y=[(b-d)/c]x

El punto de intersección de estas alturas de segmentos es:

H=  (d,  (-d²/c)+(bd)/c)

Entonces el lugar geométrico (en concreto corresponde a una parábola) de la intersección de las 3 alturas es:

y= (-1/c)*x² +(b/c)*x

Claro pero no te piden los puntos de corte sino el dominio y la imagen  , siendo un polinomio el dominio son todos los reales y siendo una parábola que se abre hacia arriba el mínimo se da en su vértice , claro calculando el vértice obtienes su imagen .

Si lo que quiere es graficar ya viste que no corta al eje x , calcula el vértice y algún otro punto como el corte con el eje Y u otro punto cualquiera y por allí debe pasar la parábola

En cuanto a tu ejercicio, el dominio es todo R (-inf,inf)  y para encontrar la imagen no tienes que usar esa ecuación...sólo tener en cuenta que es una parábola de la forma ax²+bx+c y para hallar su vértice usar la fórmula V=-b/(2a), y en este caso como a=2 y es mayor que cero, entonces ese vértice será un mínimo.

Aparte, la ecuación que mandaste aunque no se pueda resolver en el dominio de R (números reales)...si que se puede en el contexto de los números imaginarios (no sé si lo habrás visto o no en clase)

La unidad imaginaria i vale √-1

√-16= √16*√-1= √4²*√-1= √4²*√-1= 4*√-1= 4i

Muchas gracias, de verdad que me ayudaron

Hola,

Sea P(n) 2ⁿ≤n! ; ∀n ≥ 4

Caso base n =4

Comprobemos si P(n) se cumple para n = 4

2⁴= 16  ∧ 4! = 24

∴2⁴≤4! /Si se cumple.

Hipotesis inductiva: Supongamos que ∃k∈ℕ ; 2^k ≤k!

P.D.Q: 2^k+1≤ (k+1)!

 En efecto,

2^k+1≤ (k+1)!

⇔ 2*2^k≤(k+1)*k!

Recordemos la propiedad respecto a la desigualdad que nos dice que:

0<x<y ∧ 0<u<v → x*u <y*v

En este caso , por hipotesis sabemos que

2^k ≤k!, y al lado izquierdo se multiplica por 2 y al derecho por (k+1)

Evidentemente 2< k+1 , pues el menor valor para k es 4

∴Q.E.D.