Tienes la función vectorial de posición para los puntos de una curva en R3, por lo que recuerda que en coordenadas cartesianas queda presentada como la intersección de dos superficies, por lo que tendrás un sistema con dos ecuaciones.
Comenzamos por plantear las ecuaciones cartesianas paramétricas (recuerda que expresamos a las compoentes como x, y, z):
x = t2 + 4t + 2,
y = 0,
z = t2 + 6t + 7.
Observa que ya tienes una de las ecuaciones cartesianas, que hemos remarcado, luego queda el sistema:
x = t2 + 4t + 2
z = t2 + 6t + 7,
mantenemos una ecuación (por ejemplo la primera), y sustituimos la segunda por la resta entre ella y la primera ecuación y queda el sistema equivalente:
x = t2 + 4t + 2
z - x = 2t + 5, de donde podemos despejar: (1/2)*(z - x - 5) = t,
luego sustituimos en la primera ecuación y queda:
x = ( (1/2)*(z - x - 5) )2 + 4*((1/2)*(z - x - 5)) + 2, distribuimos la potencia en el primer término, resolvemos coeficientes en los términos y queda:
x = (1/4)*(z - x - 5) )2 + 2*(z - x - 5)) + 2, que es la ecuación cartesiana de la segunda superficie.
Luego, un sistema de ecuaciones cartesianas que representa a la curva cuya función vectorial de posición tienes en el enunciado queda:
x = (1/4)*(z - x - 5) )2 + 2*(z - x - 5)) + 2
y = 0.
Recuerda que para una función vectorial de posición, tienes que le corresponden más de un sistema de ecuaciones cartesianas que corresponden a la misma curva.
Espero haberte ayudado.
