Calcula la probabilidad de que un soldado pese menos de 60 kg.
Tenemos a 600 soldados. El peso de esos soldados sigue una normal de media 68 y de desviación estándar 9 (hay que tener cuidado con esto).
Genial, entonces lo que hacemos es:
Si X es la variable aleatoria del peso de los soldados, entonces nos piden:
P[X<60]
Vamos a la tabla y lo miramos. No creo que tengas una tabla de una normal de media 68 y desviación estándar 9. Sinceramente, lo dudo. Casi seguramente la tabla que tienes de una normal de media 0 y de desviación estándar 1. Entonces, qué hacemos? Pues hacemos un apaño.
Este apaño se llama (pero no creas que sea mágico) estandarizacion o normalizacion de variables aleatorias. Consiste en que basicamente tenemos una variable aleatoria X que sigue una norma N(µ, σ²) (OJO AQUÍ) y la convertimos en una variable aleatoria Z que sigue una norma N(0, 1). Este proceso no es mágico jeje, simplemente lo podemos hacer porque la normal tiene muchas propiedades, entre las cuales está que es simétrica respecto de su media (µ). Lo que importa es que se puede hacer y es muy sencillo:
Si tenemos X ∼ N(µ, σ²) entonces Z=(X-µ)/(σ) ∼ N(0, 1) (OJO AQUÍ)
Tenemos que tener mucho cuidado porque en el enunciado del problema, te dicen que el peso sigue una normal de media 68 y de DESVIACIÓN ESTÁNDAR 9. Por sino recuerdas: σ = desviación estándar, σ² = varianza. Es decir, la varianza es el cuadrado de la desviación estándar. La normal, por lo general, se suele dar en función de la media y de la VARIANZA, mientras que en tu ejercicio está con la DESVIACIÓN ESTÁNDAR. Por eso tienes que vigilar.
Tu normal, en la notación más común sería N(68, 81). Fíjate bien ahora en cómo hacer la normalización. Hay que dividir por la DESVIACIÓN ESTÁNDAR, es decir, σ que es la raíz de la VARIANZA. Puede ser un poco lío pero si lo tienes claro no es tanto. Si cuando te den la normal, te dicen media x y VARIANZA y, al hacer la normalización tienes que dividir por √(y). Si te la dan con la DESVIACIÓN ESTÁNDAR, tienes que dividir por ella misma, sin raíces. Lo normal es que te den la varianza, pero en este caso te han dado la desviación estándar. Volviendo al ejercicio:
Íbamos a calcular la probabilidad de que un soldado pese menos de 60 kg. Habíamos llegado a:
P[X<60]
Haciendo la normalización:
P[X<60]=P[(X-µ)/(σ)<(60-µ)/(σ)]=P[Z<(60-µ)/(σ)]
donde Z ∼ N(0, 1).
Y ahora si podemos mirar la tabla. Sustituimos lo que es la media y la desviación y tenemos:
P[Z < -8/9]
Ahora puede pasar dos cosas: que tengas una tabla de la normal con números negativos (poco probable) o que tengas una tabla con valores de la normal positivos (hay que pensar un poco más). Voy a dejar unos dibujos que te ayudaran:
Tenemos que calcular P[Z<0.89] (aproximadamente). Esto es, el área de la cola rayada.
Como no podemos hacerlo directamente porque en nuestra tabla no aparece, hacemos uso de las propiedades de la normal. Concretamente que es simétrica. Así que calcular el área de esa zona rayada, es lo mismo que calcular el área de:
O lo que es lo mismo:
P[Z > 0.89]
Sin embargo, la tabla de la normal lo que hace es calcular las colas de la izquierda, es decir, solo sirve para calcular el area hacia la izquierda de un punto. Por lo tanto, en nuestra tabla de la normal nos va a aparecer eso:
Que sería:
P[Z ≤ 0.89]
Sin embargo, como sabemos que el área que hay bajo la normal es 1 sabemos que el área del trozo de la cola de la derecha (el que queremos) más el de la cola izquierda (tabla) es 1, es decir:
P[Z > 0.89]=1-P[Z≤0.89]
Tras hacer esto tenemos:
P[Z>0.89]=1-P[Z≤0.89]=1-8133=0.1867
Y con esto ya está, esa es la probabilidad. No hay que hacer nada más.
b) ¿Cuántos soldados tienen su peso comprendido entre 65 kg y 75 kg?
Nos preguntan cuántos soldados pesan entre 65 kg y 75 kg.
Para ello, tenemos que calcular la probabilidad de que su peso esté en ese intervalo, es decir:
P[65 ≤ X ≤ 75] = P[(65-68)/(9) ≤ Z ≤ (75-68)/(9)]=P[-1/3 ≤ Z ≤ 7/9]
Es lo mismo que calcular:
P[Z ≤ 7/9] - P[Z < -1/3] = P[Z ≤ 7/9] - (1- P[Z < 1/3])=0.7823 - (1-0.6293)=0.4116
Ahora sabemos la probabilidad de que un soldado pese entre 65 kg y 75 kg, por lo tanto, si queremos saber cuántos habrá, tenemos que calcular la probabilidad por la cantidad de soldados. Lo que nos da:
0.4116 · 600 = 246-96 ≈ 247 soldados
El último no tiene nada nuevo. Todo lo que necesitas para resolverlo está en este comentario. A mi me da entre 17 y 18 (17.64 para ser precisos, pero puede variar con los redondeos).
Si te queda alguna duda, no dudes en preguntar de nuevo.
Saludos Majda!
