Observa que si haces el cambio a coordenadas polares, la ecuación implícita de a curva (que pertenece a la unión del cuarto cuadrante con el primer cuadrante y pasa por el origen) queda:

r⁴ = 4r²(cos²θ - sen²θ), luego, por identidad trigonométrica queda:

r⁴ = 4r²cos(2Θ), luego observa que tenemos dos opciones:

a) r = 0, que corresponde al punto de coordenadas O(0,0);

b) r ≠ 0, por lo que puedes hacer pasaje de factor como divisor, simplificas y queda:

r² = 4cos(2Θ), luego haces pasaje de potencia como raíz (recuerda que r es positivo) y queda:

r = √(4cos(2Θ), que es la ecuación explícita de la curva en coordenadas polares,

luego, observa que la región de integración queda:

0 ≤ r ≤ √(4cos(2Θ), 

- π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Luego, pasamos a la integral (recuerda el factor de compensación o Jacobiano, |J| = r):

I = ∫∫_Dxydxdy = ∫∫_D rcosθrsenθrdrdθ = ∫∫_D r³cosθenθdrdθ, integramos para r y queda:

I = ∫ cosθenθ [r⁴/4] dθ = evaluamos r y queda:

I = ∫ cosθenθ 4cos²(2θ) dθ, aplicamos la identidad trigonométrica: sen(2θ) = 2cosθenθ y queda:

I = 2 ∫ cos²(2θ) sen(2θ) dθ, que puedes resolver por medio de la sustitución (cambio de variable): w = cos(2θ) (te dejo la tarea):

Espero haberte ayudado.

Resube la función, no se ve nada 

"Una obra es terminada por 30 personas en 60 días"

Esto podríamos interpretarlo como: 60*30=1800 días tardaría la obra si la hiciera una persona

"Si a los 24 días de haber empezado se suman 12 trabajadores más"

Hasta el día 24 se han trabajado por ese hipotético único trabajador 30*24=720 días

1800(días totales para terminar la obra)-720(días trabajados hasta el 24)=1080 días  faltan por trabajar

A partir del día 25(incluido) se trabajan 30+12=42 días/día

1080:42=25,71 ≅ 26

24+26=50 días tardarán incorporando en el día 25 a 12 trabajadores

Comienza por plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta, para ello despejas y en su ecuación implícita y queda: y = 2x + 4, luego observa que la pendiente de la recta es: m = 2 (1).

Luego plantea la expresión de la derivada primera en la expresión de la parábola: y ' = - 2x + 4 (2).

Luego, observa que la pendiente de la recta tangente a la parábola debe ser igual a la pendiente de la recta, ya que ambas son paralelas, luego planteamos:

y ' = m, sustituimos a partir de las expresiones señaladas (1) (2) y queda la ecuación:

- 2x + 4 = 2, divides por - 2 en todos los términos de la ecuación y queda:

x - 2 = - 1, luego haces pasaje de término y queda:

x = 1, que es la abscisa del punto de tangencia (punto de contacto) entre la parábola y su recta tangente,

luego, reemplazas en la ecuación de la parábola y queda:

y = - 1² + 4*1 - 1, resuelves y queda:

y = 2, que es la ordenada del punto de tangencia entre la parábola y su recta tangente.

Luego, como tienes la pendiente de la recta tangente (m = 2), y las coordenadas del punto de tangencia (P₁(1,2), puedes plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente:

y = m(x - x₁) + y₁, reemplazas y queda:

y = 2(x - 1) + 2, distribuyes en el primer término del segundo miembro, reduces términos semejantes y queda:

y = 2x, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta buscada.

Espero haberte ayudado.

Debes recordar la definición de valor absoluto, y la propiedad del valor absoluto elevado al cuadrado:

| u |² = | u² | = u².

Observa que tenemos dos opciones para analizar: 

1) Si u ≥ 0 tenemos: | u | = u, por lo tanto:

| u |² = sustituimos a partir de la igualdad remarcada = u²,

| u² | = u², porque el argumento del valor absoluto es positivo o es igual a cero.

2) Si u < 0 tenemos: | u | = - u, por lo tanto:

| u |² = sustituimos a partir de la igualdad remarcada = (- u)² = u², 

| u² | = u², porque el argumento del valor absoluto es positivo o es igual a cero.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original ,por favor.

Tienes en el antecedente del condicional:

- 1x/2 > 0, haces pasaje de divisor como factor (observa que es positivo, por lo que se conserva la desigualdad) y queda:

- 1x > 0, haces pasaje de factor como divisor (observa que es negativo, por lo que cambia la desigualdad) y queda:

x < 0 (*), por lo que tenemos que x toma valores reales estrictamente negativos.

Luego analiza cada término por separado en el consecuente del condicional:

a) Restas 2 en ambos miembros de la inecuación señalada (*) y queda:

x - 2 < - 2, por lo que tienes que la expresión (x - 2) es negativa, y su valor absoluto queda:

|x -2| = - (x - 2) = - x + 2 (1).

b) Multiplicas por 3 en ambos miembros de la inecuación señalada (*), observa que se conserva la desigualdad, y queda:

3x < 0, por lo que tienes que la expresión 3x es negativa, y su valor absoluto queda:

3x = - 3x (2).

Luego, debes sustituir las expresiones señaladas (1) (2) en el primer miembro de la ecuación del enunciado:

|x - 2| - |3x| - 6 = sustituyes = (- x + 2) - (- 3x) - 6 = distribuyes = - x + 2 + 3x - 6 = reduces términos semejantes:

= 2x - 4 = extraes factor común = 2(x - 2).

Por lo que concluyes que la proposición del enunciado es Verdadera.

Espero haberte ayudado.

Recorda que la ecuación vectorial  de un plano viene dada por la forma  π: (x,y,z)= p+ λV+μU siendo p un punto del plano y un par de vectores U y V no paralelos.

lo unico que tendrias que hacer es reemplazar.

La ecuación del plano que vos intentaste  hallar es la de la forma implícita, que se obtiene haciendo el producto vectorial entre los vectores que te dieron, este vector que se obtiene es el normal del plano en este caso es igual a (2,-1-1) reemplazando en la forma π:Ax+By+Cz+D=0

2x-y-z+D=0 como el punto debe estar en π debe satisfacer la ecuación, entonces lo metes en esta ecuación  y despejas D, que va a ser igual a D=-1

entonces π: 2x-y-z-1=0

Observa que debes revisar tu tarea, porque el punto del enunciado no pertenece al plano cuya ecuación has dado como posible respuesta (lo puedes visualizar reemplazando sus coordenadas en la ecuación, y verás que no se verifica) y, además, el vector normal al plano de tu respuesta

(N = <3,3,2>) no es perpendicular a los dos vectores del plano paralelo (lo puedes visualizar realizando los productos escalares, y verás que no son iguales a cero).

Observa que los dos planos son paralelos, por lo que sus vectores normales son paralelos también. Luego, a partir del los dos vectores que determinan el plano del enunciado plantea su producto vectorial, y obtendrás un vector normal a los dos planos a la vez:

N = A x B = <1,1,1> x <1,0,2> = resuelves (revisa tus apuntes de clase) = <2,-1,-1> (1).

Luego, como tienes en el enunciado que el punto de coordenadas P₀(1,2,-1) pertenece al plano buscado puedes plantear su ecuación vectorial (observa que llamamos P₀ al punto conocido del enunciado, y P(x,y,z) a un punto genérico del plano); y recuerda que la ecuación vectorial del plano se escribe como un producto escalar (lo indicamos con *) entre el vector normal (N) y el vector genérico del plano

(P₀P = <x-1,y-2,z+1> ):

n * P₀P = 0, sustituyes y queda:

<2,-1,-1>*<x-1,y-2,z+1>= 0,

desarrollas el producto escalar (recuerda que es igual a la suma de los productos componente a componente) y queda:

2(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z + 1) = 0, distribuyes y queda:

2x - 2 - y + 2 - z - 1 = 0, reduces términos semejantes, ordenas y queda:

2x - y - z - 1 = 0.

Espero haberte ayudado.

una foto para evitar ambiguedades.

hay un problema y no me deja subir imagenes. El limite es de x que tiende a mas infinito,  hay dos fracciones por un lado 2/x y por otro (x-1)/(x^2 + 5) y las dos fracciones se dividen. Me he dado cuenta de que no eleve al cuadrado el denominador de la segunda fraccion en el primer enunciado ;).

espero haberte aclarado el problema, gracias hugo.

fijate que n^2 = 1+3+5+...+(2n-1) esto es la suma de los numeros impares.

f) Observa que puedes multiplicar al numerador y al denominador por la expresión "conjugada" del numerador, lo haces y el término general queda:

a_n = 1 / n(√(n+1) + √(n) ),

luego, observa que el término general es positivo para todo n ∉ N, por lo que planteamos el criterio de comparación, y para ello buscamos una expresión que sea mayor y la obtenemos "achicando" el denominador (recuerda que es positivo), para lograrlo le restamos uno de los términos en el agrupamiento, y queda:

a_n = 1 / n(√(n+1) + √(n) ) ≤ 1 / n(√(n+1) + √(n) - √(n+1) ) = 1 / n√(n) = 1/n^3/2 = n^-3/2= b_n.

Luego, planteamos la comparación:

∑(n=1,inf) a_n ≤  ∑(n=1,inf) b_n = ∑(n=1,inf) n^-3/2, que es convergente, y lo puedes demostrar con el criterio de la integral:

I = ∫ x^-3/2dx = [- 2x^-1/2] = [-2/√(x)] = evaluamos entre 1 y + infinito = 2.

Por lo tanto, la serie del enunciado es convergente.

Espero haberte ayudado.

No es posible Casa Vesga. No es una propiedad de radicales

Si quieres eliminar dicha raíz, lo recomendable es elevador al cuadrado ambos miembros de la igual.