Vamos con el ejercicio 4.

Estamos buscando la expresión de una función: y = f(x), y tenemos información sobre sus rectas tangentes, por lo que planteamos su ecuación en forma general, para un punto de la gráfica con coordenadas: P₀( x₀ , f(x₀) ):

y - f(x₀) = f ' (x₀)*(x - x₀), distribuimos en el segundo miembro, hacemos pasaje de término y queda:

y = f ' (x₀)*x - f ' (x₀)*x₀ + f(x₀), luego, tenemos a partir del enunciado que la ordenada al origen de la recta tangente (que hemos remarcado) es igual al opuesto de la ordenada del punto de tangencia, por lo que planteamos:

- f ' (x₀)*x₀ + f(x₀) = - f(x₀), hacemos pasaje de término y queda:

- f ' (x₀)*x₀ = - 2*f(x₀), multiplicamos por -1 en ambos miembros y queda:

f ' (x₀)*x₀ = 2*f(x₀),

que es la relación entre la derivada de la función evaluada en el punto de tangencia y el valor de la función en dicho punto.

Luego, para un punto cualquiera de la gráfica de la función planteamos a partir de la última ecuación:

y ' * x = 2*y, expresamos a la derivada como cociente de diferenciales y queda:

dy/dx * x = 2*y, hacemos pasajes de divisores y factores y queda:

dy/y = 2*dx/x, luego integramos miembro a miembro y queda:

ln|y| = 2*ln|x| + C, luego evaluamos para el punto de coordenadas (2,4) que pertenece a la curva y queda:

ln(4) = 2*ln(2) + C, hacemos pasaje de término y queda:

ln(4) - 2*ln(2) = C, resolvemos el primer miembro y tenemos:

0 = C, luego reemplazamos en la ecuación remarcada y tenemos una ecuación cartesiana implícita para la curva:

ln|y| = 2*ln|x|, aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro y queda:

ln|y| = ln(x²), luego comparamos argumentos y tenemos la ecuación cartesiana explícita de la curva:

y = x².

Espero haberte ayudado.

Vamos con el ejercicio 5.  Tratamos cada término por separado.

1) En el primer término observa que tienes un intervalo simétrico con respecto al origen, y que la función es impar, por lo que el resultado de la integral es cero:

f(x) = x⁶*sen⁷(x) = x⁶*( sen(x) )⁷, luego planteamos:

f(-x) = (-x)⁶*sen⁷(-x) = (-x)⁶*( sen(-x) )⁷ = x⁶( -sen(x) )⁷ = x⁶*( -sen⁷(x) ) = - x⁶*sen⁷(x) = - f(x),

por lo que tenemos que la función es impar.

2) En el segundo término, comenzamos por dividir al numerador por el denominador en la expresión de la función y queda:

g(x) = 1 + (3x² - 4)/(x³ - 3x² + 4),

luego, probamos valores y tenemos que x = 2 es una raíz del denominador del segundo térmno, por lo que aplicamos la Regla de Ruffini, y luego la fórmula resolvente para ecuaciones polinómicas cuadráticas y tenemos:

g(x) = 1 + (3x² - 4) / (x+1)(x-2)², y luego puedes continuar planteando fracciones parciales para el segundo término, para luego integrar.

Espero haberte ayudado. 

Valor aproximado de e: 2,71828182846...

Cota mínima de e:  2,718

Cota máxima de e:  2,719

Valor aproximado de π: 3,14159265359...

Cota mínima de π: 3,141

Cota máxima de π: 3,142

Entonces esas son las cotas a 4 cifras significativas de Pi y e?

Exactamente

MAximo local en x=0 de valor  -5/81.

No hay puntos de inflexion

Es posible no haya muchos, pero tus dudas no aportarían ningun concepto nuevo y el trabajo duro tiene que ser el vuestro. Te sugiero los repases. 

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos....Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Ten en cuenta antes de nada que "cuantos años hace" se pasa a lenguaje matemático como k-x, en este caso 35-x en el padre y 8-x en el hijo y "dentro de cuantos años" como k+x

El problema quedaría así planteado:

35-x=10(8-x) 

Quitamos paréntesis:

35-x=80-10x

Agrupamos términos:

9x=45

Despejamos equis:

x=5

"Hace 5 años la edad del padre era 10 veces la edad del hijo"

Comprobación:

35-5=30 años tenía el padre hace 5 años

8-5=3 años tenía el hijo hace 5 años

           30/3= 10 veces mayor

La edad del padre hace x años es: 35 - x.

La edad del hijo hace x años es: 8 - x.

La relación entre las edades que tenían hace x años queda:

35 - x = 10(8 - x), distribuimos el segundo miembro y queda:

35 - x = 80 - 10x, hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes y queda:

9x = 45, hacemos pasaje de factor como divisor y llegamos a:

x = 5.

Observa que hace cinco años, el padre tenía 30 años y el hijo tenía 8 años.

Espero haberte ayudado.

Creo que el profe Antonio quería escribir que hace cinco años, el padre tenía 30 años y el hijo tenía 3 años (8-5=3)

Has sustituido bien, solo quedaría para hacer extraer factor común r en el primer miembro, y queda:

r(senθcosφ + 2senθsenφ + 3cosθ) = 6.

Espero haberte ayudado.

Geometría analítica

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