No es "por partes", Carlos. Haz el cambio t=e^x  y ya es inmediata.

¿Cómo sería profesor Antonio? ¿lo podrías hacer ? es que igual llevo un par de horas con integrales y no me salen Gracias

Es una integral inmediata, ∫f'(x)·Cos[f(x)]=Sen[f(x)]+C

Te ayudamos, Álex:

Hola Marina. La resolución de esta igualdad es muy sencilla, por tanto, te indicaré los pasos a seguir a continuación.

1. Desarrola tg 2a y realiza la operación del denominador (tg 2a - tg a). Ten en cuenta que tg 2a ha de estar simplificada.

2. Una vez que hayas operado, te quedará una fracción así: (1-tg² a)/(1+tg² a). Expresa las tangentes en función de senos y cosenos y llegarás al resultado pedido.

Para calcular el argumento de una potencia debes aplicar la Fórmula de De Moivre: Arg(z^n) = n*Arg(z) para el argumento principal, y sumar 2kpi para el argumento general.

a) Arg(z^4) = 4*(3/4)pi = 3pi, luego como excede a 2pi: Arg(z^4) = 3pi - 2pi = pi (argumento principal).

Luego observa que el módulo de z es un número real positivo al que, al expresarlo como un número complejo, le corresponde argumento igual a cero.

b) Aplicas la propiedad del argumento de una división:

Arg(z/|z|) = Arg(z) - Arg(|z|) = (3/4)pi - 0 = (3/4)pi (argumento principal).

c) Observa que el módulo del cociente entre z y el módulo de z es igual a uno:

| z/|z| | = propiedad del módulo de un cociente = |z|/| |z| | = observa que el módulo de z es un número real positivo

= |z|/|z| = 1 (observa que 1 es un número real positivo, por lo que tenemos que su argumento es 0).

Luego

Arg(| z/|z| ) = Arg(1) = 0.

Con respecto a este último ejercicio:

observa que z es un número complejo, y su módulo se expresa: |z|;

observa que |z| es un número real positivo, por lo que su módulo es igual a su valor absoluto, que coincide con él: | |z| | = |z|.

Espero haberte ayudado.

Observa que se ha aplicado la sustitución (cambio de variable):

w = x^2, cuyo diferencial queda: dw = 2x*dx.

Observa que en el miembro central de la igualdad han multiplicado por 1/2 y por 2, para poder aplicar la sustitución, vamos con el desarrollo:

Integral ( x * e^(x^2) * dx ) = multiplicamos por 1/2 y por 2:

= (1/2) * Integral ( 2x * e^(x^2) * dx ) = ordenamos factores en el argumento de la integral:

= (1/2) * Integral ( e^(x^2) * 2x*dx ) = aplicamos la sustitución:

= (1/2) * Integral ( e^w * dw ) = resolvemos:

= (1/2) * e^w + C = sustituimos:

= (1/2) * e^(x^2) + C.

Espero haberte ayudado.

Míralo con ojos de derivación y  acuérdate de la regla de la cadena.

Otra vez se aplicó un cambio de variable, en este caso:

w = 1 + V(x), cuyo diferencial es dw = ( 1 / (2V(x)) )*dx,

y en el desarrollo han multiplicado por 2 y por (1/2), vamos con los pasos:

Integral ( 1 / ( V(x)*V(1+x) )*dx = multiplicamos por 2 y por 1/2

= 2 * Integral ( 1 / ( 2*V(x)*V(1+x) )*dx = expresamos el argumento de la integral como producto de fracciones:

= 2 * Integral ( ( 1/(2V(x)) ) * ( 1/V(1+x) ) ) * dx = ordenamos factores en el argumento de la integral

= 2 * Integral ( ( 1/V(1+x) ) * ( 1/(2V(x)) ) * dx = aplicamos el cambio de variable:

= 2 * Integral ( 1/w ) * dw = resolvemos:

= 2 * ln|w| + C = aplicamos el cambio de variable:

= 2 * ln| 1 + V(x) | + C.

Espero haberte ayudado.

Foto del enunciado original, por favor.

Te ayudamos: 

Perdone, pero podría hacerlo con la fórmula de moivre?

Las dos primeras líneas son...."la fórmula de Moivre"

Es que utilizando la fórmula senx=( e^ix - e^-ix) / 2i , al elevarla al cubo, cómo puedo quitar i?

Va, Víctor.

Entonces si lo he hecho de forma correcta, pero dudaba que fuese asi

Foto del enunciado original, por favor.

1-tga/1+tga= 1-sen2a/cosa

Sigue siendo incorrecta. Insisto: Foto del enunciado original, por favor. No nos hagas perder el tiempo, Marina, que es un bien limitado.

Ya adiviné el enunciado correcto:

Porque (cosa-sena) =  (cosa-sena) (cosa-sena) (cosa+sena)

Gracias.