Tienes dos situaciones:

1°)

r < R (dentro del cilindro cargado):

observa que la expresión de la carga neta encerrada por una superficie de Gauss coaxial con el cilindro y con radio r (indicamos con L a la longitud del cilindro en el planteo) es:

q_ne = ρ*V = ρ*π*r²*L;

luego, aplicas la Ley de Gauss (observa que simplificamos expresiones), y queda:

ε*E*A = q_ne,

sustituyes la expresión del área de la superficie de Gauss, sustituyes la expresión de la carga neta encerrada, y queda:

ε*E*2*π*r*L = ρ*π*r²*L, divides por (π*r*L) en ambos miembros, y queda:

ε*E*2 =  ρ*r, multiplicas por 1/(2ε) en ambos miembros, y queda:

E = ( ρ/(2ε) )*r, que es la expresión del módulo del campo eléctrico dentro del cilindro cargado;

2°)

r > R (fuera del cilindro cargado):

observa que la expresión de la carga neta encerrada por una superficie de Gauss coaxial con el cilindro y con radio r (observa que el radio de la superficie de Gauss es mayor que el radio del cilindro, indicamos con L a la longitud del cilindro en el planteo) es:

q_ne = ρ*V = ρ*π*R²*L;

luego, aplicas la Ley de Gauss (observa que simplificamos expresiones), y queda:

ε₀*E*A = q_ne,

sustituyes la expresión del área de la superficie de Gauss, sustituyes la expresión de la carga neta encerrada, y queda:

ε₀*E*2*π*r*L = ρ*π*R²*L, divides por (π*L) en ambos miembros, y queda:

ε₀*E*2*r =  ρ*R², multiplicas por 1/(2ε)  por (1/r)yen ambos miembros, y queda:

E = ( ρ*R²/(2ε₀) )*(1/r), que es la expresión del módulo del campo eléctrico fuera del cilindro cargado.

Espero haberte ayudado.

Por que depende del sentido de giro que estés tomando,  tomamos el sentido negativo a la fuerza cuando el giro es horario y positivo cuando es antihorario 

Planteas la expresión del módulo del peso aparente en función del módulo del peso real y del módulo del empuje, y queda:

P_ap = P - E, sumas E y restas Pap en ambos miembros, y queda:

E = P - P_ap, remplazas valores, y queda:

E = 840 - 500 = 340 N.

Planteas la expresión del módulo del empuje en función de la densidad del líquido y del volumen del objeto, y queda

δ_L*V*g = E, divides por δ_L y por g en ambos miembros, y queda:

V = E/(δ_L*g), reemplazas valores, y queda:

V = 340/(800*9,8) ≅ 0,043367 m³.

Planteas la expresión del módulo del peso real del objeto en función dde su masa y del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre, y queda:

M*g = P, sustituyes la expresión de la masa en función de la densidad del objeto y de su volumen, y queda:

δ*V*g = P, divides por δ y por g en ambos miembros, y queda:

δ = P/(V*g), reemplazas valores, y queda:

δ ≅ 840/(0,043367*9,8) ≅ 1976,471 Kg/m³.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Considera un sistema de referencia OXY usual, con eje OX con dirección y sentido positivo acorde a la velocidad inicial de la primera bola, y con eje OY perpendicular, con sentido positivo acorde a la velocidad final de la primera bola.

Luego, como no actúan fuerzas exteriores, puedes plantear que el impulso se conserva,

por lo que tienes, para las componentes del impulso inicial:

p_ix = +M*4,48 - M*2,32 = +2,16*M,

p_iy = 0;

y tienes para el impulso final:

p_fx = +M*v₁*cos(60°) + M*v₂*cos(-20°),

p_fy = +M*v₂*sen(60°) + M*v₂*sen(-20°);

luego, igualas expresiones componente a componente, y queda:

+M*v₁*cos(60°) + M*v₂*cos(-20°) = +2,16*M,

+M*v₂*sen(60°) + M*v₂*sen(-20°) = 0;

luego, divides por M en todos los términos de las dos ecuaciones, y queda:

v₁*cos(60°) + v₂*cos(-20°) = +2,16,

v₂*sen(60°) + v₂*sen(-20°) = 0;

y solo queda que reemplaces valores de las razones trigonométricas y resuelvas el sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son los módulos de las velocidades finales de las dos bolas después del choque.

Espero haberte ayudado.

Tienes el valor del periodo orbital del satélite:

T = 87 min = 87*60 = 5220 s.

Luego, planteas la expresión de la rapidez angular orbital en función del radio orbital, y queda:

ω = 2π/T = 2π/5220 ≅ 0,001204 rad/s.

Luego, planteas la expresión del radio orbital, y queda:

R_o = 6,37*10⁶ m + 1000 Km = 6,37*10⁶ + 1*10⁶ = 7,37*10⁶ m.

Luego, planteas la expresión de la rapidez orbital del satélite en función de su rapidez angular orbital y de su radio orbital, y queda:

v = R_o*ω ≅ 7,37*10⁶*0,001204 ≅ 8871,087 m/s.

Luego, planteas la expresión del momento angular del satélite con respecto al eje de suórbita, y queda:

L = R_o*M*v ≅ 7,37*10⁶*1200*8871,087 ≅ 78455896*10⁶ ≅ 7,8455896*10¹³ J*s.

Espero haberte ayudado.

Esta consulta es propia del Foro de Matemáticas, pero igual ahí vamos.

Planteas la expresión del vector w, y queda: w = < 5 , 0 , 0 >,

cuyo módulo queda: |w| = 5.

Luego, planteas el producto vectorial que tienes en tu enunciado, y queda:

u x v = < 0 , -3 , 4 > x < 0 . 3 . 4 >, desarrollas este producto, y queda:

u x v = < -12-12 , 0-0 , 0-0 > = < -24 , 0 , 0 >,

cuyo módulo queda: |u x v| = 24.

Luego, planteas la expresión del producto escalar en función de las componentes entre el vector w y el vector obtenido en el producto vectorial, y queda:

w • (u x v) = < 5 , 0 , 0 > • < -24 , 0 , 0 > = 5*(-24) + 0 + 0 = -120 (1).

Luego, planteas la expresión del producto escalar en función de los módulos y del ángulo determinado entre el vector w y el vector obtenido en el producto vectorial, y queda:

w • (u x v) = |w|*|u x v|*cosθ = 5*24*cosθ = 120*cosθ (2).

Luego, planteas la igualdad entre las expresiones del producto escalar señaladas (2) (1), y queda la ecuación trigonométrica:

120*cosθ = -120, divides por 120 en ambos miembros, y queda:

cosθ = -1, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

θ = 180°.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Tienes el periodo orbital de Titán:

T = 15,95 días = 15,95*24*3600 = 1,378080 s.

Luego, observa que sobre Titán actúa la fuerza de atracción gravitatoria que Saturno ejerce sobre él, que es la fuerza centrípeta que permite al satélite describir órbitas alrededor del planeta, por lo que aplicas la Segunda Ley de Newton, y queda:

G*M_T*M_S/R² = M_T*a_cp, divides por M_T en ambos miembros, y queda:

G*M_S/R² = a_cp,

expresas al módulo de la aceleración centrípeta en función del módulo de la rapidez angular orbital y del radio orbital, y queda:

G*M_S/R² = R*ω², expresas al módulo de la rapidez angular en función del periodo orbital, y queda:

G*M_S/R² = R*(2π/T)², multiplicas por R2 y divides por G en ambos miembros, y queda:

M_S = R³*(2π/T)²/G, 

que es una expresión del valor de la masa de Saturno en función de los datos que tienes en tu enunciado,

por lo que solo queda que reemplaces valores y hagas el cálculo.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Es muy conveniente que hagas un gráfico para que puedas visualizar mejor la situación que se plantea en tu enunciado.

Tienes la rapidez inicial del cohete:

v_i = 900 Km/h = 900*1000/3600 = 250 m/s (con dirección y sentido positivo del eje OX).

Tienes las rapideces y direcciones de los fragmentos

v₁ = 1200 Km/h = 1200*1000/3600 = 1000/3 m/s (con dirección y sentido positivo del eje OX),

v₂ = 900 Km/h = 900*1000/3600 = 250 m/s (con dirección y sentido positivo del eje OY),

v₃ = a determinar (formando un ángulo θ = a determinar, con el semieje OX positivo).

Luego, planteas las expresiones de las componentes del impulso (cantidad de movimiento) inicial, y queda:

p_ix = (3*M)*v_i = 3*M*250 = 750*M (en N*s),

p_iy = 0.

Luego, planteas las expresiones de las componentes del impulso (cantidad de movimiento) final, y queda:

p_fx = M*v₁ + M*v₃*cosθ = M*1000/3 + M*v₃*cosθ = 1000*M/3 + M*v₃*cosθ (en N*s),

p_fy = M*v₂ + M*v₃*senθ = M*250 + M*v₃*senθ = 250*M + M*v₃*senθ (en N*s).

Luego, planteas conservación del impulso, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:

1000*M/3 + M*v₃*cosθ = 750*M,

250*M + M*v₃*senθ = 0;

divides por M en todos los términos en ambas ecuaciones, y queda:

1000/3 + v₃*cosθ = 750,

250 + v₃*senθ = 0;

restas 1000/3 en ambos miembros de la primera ecuación, restas 250 en ambos miembros de la segunda ecuación y el sistema queda:

v₃*cosθ = 1250/3 (1),

v₃*senθ = -250 (2);

luego, elevas al cuadrado en ambos miembros de las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

v₃²*cos²θ = 1562500/9,

v₃²*sen²θ = 62500,

sumas miembro a miembro, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

v₃²*(cos²θ+sen²θ) = 2125000/9,

aplicas la identidad trigonométrica en el primer miembro, resuelves el primer miembro, y queda:

v₃² = 2125000/9,

extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:

v₃ ≅ 485,913 m/s, que es el valor aproximado de la rapidez del tercer fragmento;

luego, reemplazas el valor remarcado en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

485,913*cosθ ≅ 1250/3, aquí divides por 485,913 en ambos miembros, y queda: cosθ ≅ 0,857 (3),

485,913*senθ = -250, aquí divides por 485,913 en ambos miembros, y queda: senθ ≅ -0,514 (4);

luego divides miembro a miembro la ecuación señalada (4) entre la ecuación señalada (3), y queda:

senθ/cosθ ≅ -0,600, aplicas la identidad trigonométrica de la tangente en función del seno y del coseno, y queda:

tanθ ≅ -0,600, compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente, y queda:

θ ≅ -30,964°, por lo que tienes que el tercer fragmento se desplaza en el cuarto cuadrante, ya que su dirección es inclinada hacia la derecha y hacia abajo.

Espero haberte ayudado.

Lo tienes resuelto en este link, ejercicio 6.

Sería recomendable que para la próxima intentes adjuntar no solo el enunciado, si no todos los pasos que hayas podido hacer, estén bien o mal, de esa manera podremos ver en qué fallas y así poder orientarte mejor ;)

Hola, primero tienes que calcular la velocidad inicial del conjunto bloque - proyectil usando conservación de la cantidad de movimiento, luego tomando en cuenta que la variación de la energía cinética es igual al trabajo realizado pro la fuerza de rozamiento encuentras lo que te piden.

Establece un sistema de referencia con eje de posiciones OX con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento inicial del proyectil.

Luego, vamos por etapas:

a)

Planteas la expresión del impulso del sistema proyectil-bloque antes del choque, y tienes:

p_a = M_p*v_p + M_b*v_b = 0,005*v_p + 3*0 = 0,005*v_p + 0 = 0,005*v_p (1).

b)

Planteas la expresión del impulso y de la energía del sistema después del choque, y queda:

p_d = (M_p+M_b)*v_d = (0,005+3)*v_d = 3,005*v_d (2);

EC_d = (1/2)*(M_p+M_b)*v_d² = (1/2)*(0,005+3)*v_d² = (1/2)*3,005*v_d² = 1,5025*v_d² (3).

c)

Planteas la expresión de la energía final del sistema (observa que el conjunto proyectil-bloque está en reposo), y queda:

EC_f = 0 (4).

d)

Planteas la ecuación trabajo-energía entre el instante inmediato después del choque y el instante final, y queda:

W_fr = EC_f - EC_d,

sustituyes la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento (observa que su sentido es opuesto al desplazamiento del conjunto proyectil-bloque, sustituyes las expresiones señaladas (4) (3), y queda:

-fr*Δx = 0 - 1,5025*v_d²,

sustituyes la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento en función del coeficiente dinámico y del módulo de la acción normal que la superficie ejerce sobre el conjunto proyectil-bloque (observa que coincide con el módulo del peso del conjunto, y que consideramos que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es: g = 9,8 m/s²), cancelas el término nulo, y queda:

-μ_d*(M_p+M_b)*g*Δx = -1,5025*v_d²,

multiplicas en ambos miembros por -1, reemplazas valores, y queda:

0,2*(0,005+3)*9,8*0,25 = 1,5025*v_d²,

y de aquí despejas:

v_d² = 0,988,

extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:

v_d ≅ 0,994 m/s, que es el valor de la velocidad del conjunto proyectil-bloque inmediatamente después del choque.

e)

Planteas conservación del impulso durante el choque (observa que no actúan fueras exteriores al sistema proyectil-bloque en el plano de desplazamiento), y tienes la ecuación:

p_a = p_d, 

sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

0,005*v_p = 3,005*v_d,

reemplazas el último valor remarcado en el segundo factor del segundo miembro, y queda:

0,005*v_p ≅ 3,005*0,994,

resuelves el segundo miembro, divides en ambos miembros por 0,005,  y queda:

v_p = 597,383 m/s, que es el valor de la velocidad del proyectil antes del choque, y observa que la discrepancia de este valor con el valor consignado en tu solucionario se debe, seguramente, a las aproximaciones de valores.

Espero haberte ayudado.