Foro de preguntas y respuestas de Física

Haz una nueva pregunta * Para dejar preguntas en el foro debes ser usuario registrado. Regístrate o inicia sesión

  • icon

    Leire
    el 3/10/18

    Hola!! He hecho este ejercicio de ¿¿¡caida libre y lanzamiento vertical!?? y me han surgido algunas dudas

    - ¿Este problema de que es de caida libre o de lanzamiento vertical o de ambas?

    - en el apartado b ¿alguno de los dos cálculos del tiempo está bien? El primero es del que estoy mas segura de los resultados

    -En el apartado a para calcular la altura máxima he utilizado una fórmula de la caida vertical (o es donde figuraba en los apuntes que nos ha dado la profesora(la formula)) cuando pienso que es un lanzamiento vertical porque el asiento es impulsado hacia arriba 

    Por favor si alguien sabe ayudarme ¿podría revisarme el ejercicio y responder mis preguntas es que tengo exámen de esto el Lunes


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    Hola Leire, intentare despejarte dudas.

    Tanto la caída libre como el lanzamiento vertical son casos particulares de un MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado). Yo te aconsejo verlo de esa forma, así en lugar de memorizar un montón de formulas para cada caso, solo tiene que saber adaptar las formulas de un MRUA según el caso.

    Yo personalmente escribo la formula general de la posición de un MRUA del siguiente modo: x(t) = ½at² + v0t + x0. 

    Comúnmente las x se reservan para posiciones horizontales de modo que para un movimiento vertical se utilizan la y o la h. Cambiar de un movimiento genérico a un movimiento vertical es simplemente cuestión de sustituir las x de la formula original por y o h.  (Aunque en honor a la verdad, si el movimiento es en una dimensión se pueden usar las x sin ningún problema).

    Como sea que nombremos al eje de coordenadas, x, y, h o z, lo que hace a un ejercicio de caída libre o lanzamiento vertical es que en ambos casos, la aceleración a la que están sometidos es la aceleración gravitatoria y no otra, de modo que hay que sustituir la aceleración de la formula original por g = -9.8 aproximadamente. (Si la altura crece hacia arriba, g es negativa).

    Hasta donde yo sabia, lo que diferencia al lanzamiento vertical de la caída libre, es que la caída libre "no tiene" velocidad inicial, en la caída libre "se deja caer" al objeto, la velocidad inicial v0 = 0, y por lo tanto desaparece el termino de primer grado en la ecuación general. En ese caso tus anotaciones son confusas ya que dentro de caída libre tienes "si la velocidad inicial no es 0...", si la velocidad inicial no es 0 no es caída libre! es lanzamiento vertical! Sin embargo por lo que investigue recién parece no haber consenso en las definiciones de caída libre. En algunos casos la caída libre es un caso particular de lanzamiento vertical, y en algunos casos es a la inversa. En cualquier caso, son casos particulares de un MRUA, y si te preguntan específicamente que tipo de movimiento es, te aconsejo que te ajustes a las definiciones de tu profe.

    Salvo por esa anotación confusa, juraría que las definiciones de tu profe son las mismas que las mías. En tus anotaciones dentro de caída libre tienes "características, v0 = 0" y dentro de lanzamiento vertical tienes un v0 ≠ 0.

    En conclusión, tratando de responder a tu pregunta de si es caída libre, movimiento vertical o ambas, según Wikipedia seria ambas, ni siquiera veo que exista distinción entre lanzamiento vertical y caída libre. Según mis definiciones y probablemente las de tu profe, es definitivamente un lanzamiento vertical porque v0 ≠ 0. Pero te aconsejo sacarte la duda al respecto de las definiciones con algún compañero de clase o con tu profe mismo si es posible.

    Luego reviso los cálculos y te contesto.

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    Revision...

    En el apartado a, el calculo del tiempo es correcto. hmax ocurre cuando v = 0, tomaste la ec de velocidad, igualaste a 0, despejaste y hallaste t. El razonamiento es correcto y el valor es correcto.

    El calculo de hmax es incorrecto, efectivamente tienes que utilizar la formula que contempla la velocidad inicial: v² = v0 ² +2a(h-h0).

    Despejamos h que es lo que se busca para v = 0, v² - v0² = 2a(h - h0) => v²-v0² = 2ah-2ah0 => v²-v0²+2ah0 = 2ah => h = (v²-v0²+2ah0) / 2a, sustituyendo los valores, v = 0, v0 = 15, a = -9.8 y h0 = 200 se tiene h = (-15²+2*-9.8*200)/(2*-9.8) = -4145/-19.6 = 211.48 m 

    Por si te olvidas de alguna formula, a no desistir, hay múltiples caminos para resolver el apartado a.

    Puedes hallar hmax de otra manera y es utilizando la formula de la posición en el tiempo h(t) = ½gt² + v0t + h0 (esa formula hay que aprenderla si o si) y el tiempo previamente calculado de 1.53s

    Sustituyendo los valores en h(t) se tiene h(1.53) = -4.9*(1.53)²+15*(1.53)+200 = -4.9*(2.34)+22.95+200 = -11.47+22.95+200 = 211.48 m

    Utilizando h(t) también puedes hallar el tiempo que tarda en alcanzar hmax conociendo el valor de hmax , en este caso hay que hallar las raíces de una ec de segundo grado, pero es algo que habrá que hacer de todas formas en el apartado b. (Practicad y practicad y aprobareis ;)

    Para hallar el tiempo con h(t), conociendo hmax sustituimos. 211.48 = -4.9t² + 15t + 200 => -4.9t²+15t+200-211.48 => -4.9t²+15t-11.48 =0 y para hallar t se usa la conocida formula t = (-b±√(b²-4ac))/2a = > t = (-15±√(225-225))/(2*-4.9) = -15/-9.8 = 1.53s

    En el apartado b no entiendo tu razonamiento pero puede haber una enseñanza. Si no lo hiciste ya, fíjate los valores, siempre es una muy buena idea al final evaluar si los valores tienen sentido o no. Un tiempo de -8.26s significa que el paracaídas se abrió 8.26s antes de ejectarse, y eso no tiene mucho sentido. Y un tiempo de 1s es menor que el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima, hmax ya es conocida, pero si no se conociera igual se podría asegurar que hmax ≥ 200 m , pero en este tiempo menor del que tarda en alcanzar hmax, el piloto ya se supone que tiene una altura de 120 m . Eso no tiene mucho sentido, evidentemente hay un error, o en el razonamiento, o en los cálculos. Y el error es de razonamiento.

    Hay que usar la formula de posición en el tiempo, h(t) = ½gt² + v0t + hy sustituir valores, h(t) = 120, g = -9.8, v0 = 15 y h0 = 200.

    Por tanto: 120 = -4.9t²+15t+200 => -4.9t²+15t+200-120=0 => -4.9t²+15t+80=0. Hallando t con la formula se tiene que t = (-15±√(15²-4*-4.9*80))/(2*-4.9)

    => t = (-15±√(225+1568))/(-9.8) => t = (-15±√(1793)/(-9.8) => t = (-15±√42.34/(-9.8) => solucion 1: t = -2.79 s , el valor negativo no tiene sentido físico.

    solucion 2: t = 5.85 s

    Espero haberte podido ayudar a aclarar tus dudas. Y si algo no quedó claro o no me exprese muy claramente pregunta de nuevo.

    Suerte el lunes y como dice el profe... Practicad y practicad y aprobareis!

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    Laquin Laquih
    el 3/10/18

    Un atleta consigue hacer 8m en una prueba de salto de longitud. Saltó con un ángulo de 30º respecto al horizontal. Calcula la velocidad inicial.

    (Resultado: 9.5m/s)


    ¡Muchas gracias! ^-^


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    Puede que hayan formas mas simples (o mas genéricas) de resolverlo. Ahí voy con mi solución. Sea x horizontal, y vertical.

    Primera cosa, vx = v cos(α)vy = v sin(α)

    Segundo, el movimiento horizontal de un proyectil es x = vxt + x0 y movimiento vertical es y = ½gt² + vyt + y0 

    Si ponemos el origen del sistema de referencia en el punto donde salta, sabemos que x0 = 0, y que y0 = 0. Ademas, cuando cae, en x = 8, y = 0.

    Con todo esto, el movimiento horizontal se puede expresar como x = v cos(α) t y despejando t = x/(v cos(α))

    Sustituyendo t en la ec del movimiento vertical: y = ½g (x/(v cos(α))² + v sin(α) x/(v cos(α)). Ademas, para x =8, y = 0, =>

      ½g (8/(v cos(α))² + v sin(α) 8/(v cos(α)) = 0.


    Para no volverse loco, llamemos z = 
    8/(v cos(α)), => ½g z² + v sin(α) z = 0 =>  z(½gz + v sin(α)) => ó z = 0 ó ½gz + v sin(α) = 0.

    Pero z = 8/(v cos(α)) ≠ 0 para todo v cos(α), por lo tanto, ½gz + v sin(α) = 0 => v sin(α) =  -½gz =>  v sin(α) = -½g 8/(v cos(α)). Despejando y reordenando,       v² = -8g/(2sin(α)cos(α)) => v = √(-8g / (2sin(α)cos(α)) ). Sustituyendo valores, g = -9.8, y α = 30º,  v = √(8*9.8 / cos(30) ) = 9.51

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    Rafael Serrano
    el 3/10/18

    Necesito ayuda con este ejercicio gracias


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    Asumo movimientos rectilíneos. Este tipo de ejercicios generalmente se resuelven resolviendo un sistema de ecuaciones.

    El movimiento del motorista es un MRUA y el del coche es un MRU. Utilizo x para referirme a las posiciones, t para tiempos, v para velocidades, a para aceleraciones.

    La ecuación general de posición en un MRUA es x(t) = ½at² + v0 + x0 y en un MRU es x(t) = vt + x0 en donde los subindces 0 indican los valores de v y x en t = 0 (importante).


    Subindices m para el motorista y subindices c para el coche.
    Los valores para el motorista son: am = 6 m/s
    ²vm0 = 0 m/s ("un motorista arranca", suponemos que arranca del reposo) y xm0 = 0 m si lo tomamos como origen del sistema de referencia.
    Los valores para el cohce son: ac = 0 m/s
    ² (MRU),  vc = 36 km/h = 10 m/s (atento con las unidades),  xc0 = 50 m.

    Las ecuaciones de movimiento son por tanto:
    Para el motorista xm(t) = ½amt² + vm0t + xm0 = ½6t² + 0t + 0 => xm(t) = 3t².

    Para el coche  xc(t) = vct + xc0 => xc(t) = 10t + 50

    Apartado a:

    Pide un tiempo, de modo que hay que hallar un valor de t. En el momento que "lo alcanza", sus posiciones son iguales, es decir, un t tal que xm= xc
    Igualando las ecuaciones de movimiento: xm = xc => 3t² = 10t + 50

    En este caso t no se despeja fácilmente, para hallar t que cumple la igualdad, mejor plantearlo como un polinomio de grado 2 y hallar sus raíces:

    3t² - 10t - 50 = 0.


    Me salteo la parte de hallar las raíces, hay vídeos y la respuesta ya se va larga.
    Existen dos valores de t que satisfacen la igualdad: t = 6.08 s, y t = -2.74 s. El valor negativo no tiene sentido físico de modo que la respuesta es t = 6.08 s

    Tengo dudas respecto a la cantidad de cifras significativas (CS), técnicamente el dato con menor numero de CS tiene una sola CS y por lo tanto la respuesta final tendría que tener una sola CS, es decir, t = 6 s, pero manejar una sola CS me resulta raro.

    Apartado b:

    Supongo que por "punto" se refiere a la posición, medida desde la posición inicial del motorista.

    Para hallar la posición en la que se cruzan, basta con sustituir el tiempo hallado en el apartado a en cualquiera de las dos ecuaciones del movimiento. (deberían de dar el mismo valor)

    La ecuación del coche es mas simple: xc(t) = 10t + 50 => xc(6.08) = 10*6.08 + 50 = 110.8 m

    Con una sola cifra significativa en t : xc(6) = 10*6 + 50 = 110 m

    Si la respuesta final debe ser con una sola CS hay que utilizar la notación científica y la respuesta seria 1 *10² m


    thumb_up1 voto/sflag
  • icon

    Kevin
    el 3/10/18

    Ayuda con este ejercicio de polea

    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Raúl RC
    el 3/10/18

    Viste este vídeo?

    https://www.youtube.com/watch?v=FTR7Ghh2Ftk


    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Kevin
    el 3/10/18

    Si ya lo vi, la cosa es que no me da el resultado 🤔

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    El ejercicio es idéntico al del vídeo.

    Tampoco me da 34 N, me da T = 17 N.

    Espero te sirva de algo.

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    Jun Jan
    el 2/10/18
    flag

    Buenas, no me sale este ejercicio

    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Raúl RC
    el 5/10/18

    Hola! Me encantaría ayudarte, pero no respondemos dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya ha grabado como excepcion el profe. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

    Unicoos llega exclusivamente hasta secundaria y bachillerato

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Antonio Silvio Palmitano
    el 5/10/18

    Puedes comenzar por parametrizar la trayectoria:

    x = A2t2/2,

    y = At,

    con A > 0;

    luego, planteas la expresión vectorial de la posición del móvil, y queda:

    r(t) = < A2t2/2 , At >, con t ≥ 0 (observa que la posición inicial es: r(0) = < 0 , 0 >);

    luego, derivas con respecto al tiempo, y la expresión vectorial de la velocidad del móvil queda:

    v(t) = < A2t , A >, con t ≥ 0 ( observa que la velocidad inicial es: v(0) = < 0 , A >, cuyo módulo queda: v0 = A (1) );

    luego, derivas con respecto al tiempo, y la expresión vectorial de la aceleración del móvil queda:

    a(t) = < A2 , 0 >, con t ≥ 0

    (observa que la aceleración es constante y paralela al eje coordenado OX en todo instante, cuyo módulo queda: a = A2).

    Luego, puedes verificar que las expresiones remarcadas de los módulos de la velocidad inicial y de la aceleración verifican la segunda ecuación de tu solucionario:

    a = v02.

    Luego, planteas la expresión del módulo de la función velocidad, y queda:

    V(t) = √( (A2t)2 + A2 ), distribuyes la potencia en el primer término del argumento de la raíz cuadrada, y queda:

    V(t) = √(A4*t2 + A2), extraes factor común en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

    V(t) = √( A2*(A2*t2 + 1) ), distribuyes la raíz cuadrada, resuelves el primer factor, y queda:

    V(t) = A*√(A2*t2 + 1), sustituyes la expresión del módulo de la velocidad inicial del móvil remarcada y señalada (1), y queda:

    V(t) = v0*√(v02*t2 + 1), que es la primera ecuación que tienes en tu solucionario.

    Espero haberte ayudado.

    thumb_up1 voto/sflag
  • icon

    Kevin
    el 2/10/18

    Ayuda con este ejercicio de polea simple Dx lo hice pero la primera no me da 350 me da otra cantidad

    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Raúl RC
    el 3/10/18

    Viste este vídeo?

    https://www.youtube.com/watch?v=FTR7Ghh2Ftk


    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Kevin
    el 3/10/18

    Si ya lo vi... pero no me da el inciso a

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    A mi tampoco me da 350N. Diría que está mal la respuesta del ejercicio.

    Polea simple, sin rozamiento, cambia la dirección y sentido de la fuerza pero no el modulo.

    La condición para rapidez constante es a = 0 y por tanto F = 0

    Debe jalar con una fuerza F = P = m*g = 72*9.8 = 705.6N 

    Para el apartado b, una fuerza 15% mayor es 705.6*0.15 + 705.6 = 811.44

    F = F - P = m*a => a = (F - P)/m = (811.44 - 705.6)/72 = 105.84/72 = 1.47 m/s²

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    ay caramba!
    el 2/10/18

    Un ejercicio teórico: 

    - Suponer
    que una partícula se mueve en linea recta, en cualquier intervalo de
    tiempo (t) la posición, aceleración y velocidad tienen el mismo valor numerico.
    Determinar la posición en función del tiempo.


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Antonio Silvio Palmitano
    el 2/10/18

    Establece un sistema de referencia con instante inicial ti = 0, y con un eje de posiciones OX con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento de la partícula.

    Luego tienes los datos:

    xi = b (posición inicial expresada en metros),

    vi = b (velocidad inicial expresada en metros sobre segundo),

    a = b (aceleración expresada en metros sobre segundo cuadrado),

    con b ∈ R y b ≠ 0;

    luego, planteas las ecuaciones de posición y de velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (observa que la aceleración es constante), y tienes:

    x = xi + vi*t + (1/2)*a*t2,

    v = vi + a*t;

    luego, reemplazas los datos iniciales, y queda:

    x = b + b*t + (b/2)*t2,

    v = b + b*t.

    Espero haberte ayudado.

    thumb_up2 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 5/10/18

    Pua. Me suena a movimiento exponencialmente acelerado.

    x(t) = ke^(t/a)

    Donde k es una constante arbitraria con dimensión de espacio y a =1 con dimensión de tiempo.


    thumb_up1 voto/sflag
    icon

    Antonio Silvio Palmitano
    el 5/10/18

    Es muy correcta la observación del colega Fernando.

    En el desarrollo que he hecho, solamente coinciden los valores iniciales de la posición, de la velocidad y de la aceleración; y en cambio, con las expresiones que él aporta la igualdad es en todos instante, que es lo que se pide en el enunciado del problema, por lo que las expresiones de la solución serían:

    x = k*et (función posición),

    v = k*et (función velocidad),

    a = k*et (función aceleración).

    Espero haberte ayudado.

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    ay caramba!
    el 11/10/18

    nunca vi movimiento exponencialmente acelerado :S , solo vi cinematica dinamica y trabajo y energia

    thumb_up0 voto/sflag
    icon

    Fernando Alfaro
    el 21/10/18

    1 semana después...

    Sigue siendo cinemática pero a un nivel generalizado.

    Así como si derivas dos veces la posición en el tiempo te da como resultado la aceleración, si integras dos veces la aceleración respecto al tiempo, determinando las constantes de integración tienes la posición en el tiempo.


    Si partes de la condición de movimiento uniforme, a(t) = 0 obtienes las ecuaciones del movimiento uniforme.

    Si partes de la condición de movimiento uniformemente acelerado, a(t) = k obtienes las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado.

    Si partes de otra condición de aceleración, por ejemplo una función lineal, a(t) = mt + n obtendrás un polinomio de grado 3 en x(t).

    Y matemáticamente, la aceleración a(t) podría ser cualquier función, exponencial, logarítmica, racional, radical, trigonométrica...


    En los movimientos armónicos amortiguados aparecen funciones exponenciales.

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    ay caramba!
    el 2/10/18

    hola, tengo este problema que no me sale.

    Un
    hombre esta parado en una balanza de resorte dentro de un ascensor
    que posee una
    aceleración ascendente. La balanza marca 960N con el
    hombre arriba, si este toma una masa de 20kg la balanza ahora marca
    1200N. Calcular la
    aceleración del ascensor.

    MUCHISIMAS GRACIAS.

    ya tengo la respuesta, lo dejo acá por si otro tiene dudas.

    a = 2,2 m/s2


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Antonio Silvio Palmitano
    el 2/10/18

    Observa que la lectura de la balanza es el módulo de la acción normal que ella ejerce sobre el hombre.

    Luego, consideras un sistema de referencia con eje de posiciones OY vertical con sentido positivo hacia arriba.

    Luego, tienes en la primera situación que sobre el hombre actúan dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos y sentidos:

    Acción normal de la balanza: N = 960 N, hacia arriba;

    Peso del hombre: P = M*g = M*9,8 = 9,8*M (en Newtons);

    luego aplicas la Segunda Ley de Newton (observa que designamos a la aceleración con a), y queda la ecuación:

    N - P = M*a, sustituyes expresiones, y queda:

    960 - 9,8*M = M*a (1).

    Luego, tienes en la segunda situación que sobre el conjunto hombre-masa actúan dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos y sentidos:

    Acción normal de la balanza: Nc = 1200 N, hacia arriba;

    Peso del conjunto hombre-masa: Pc = (M + 20)*g = (M + 20)*9,8 = 9,8*M + 196 (en Newtons);

    luego aplicas la Segunda Ley de Newton (observa que designamos a la aceleración con a), y queda la ecuación:

    Nc - Pc = (M + 20)*a, sustituyes expresiones, y queda:

    1200 - (9,8*M + 196) = (M + 20)*a, distribuyes el agrupamiento, reduces términos semejantes, y queda:

    1004 - 9,8*M = (M + 20)*a, distribuyes el segundo miembro, y queda:

    1004 - 9,8*M = M*a + 20*a (2).

    Luego, a la ecuación señalada (2) le restas miembro a miembro la ecuación señalada (1), cancelas términos opuestos, y queda:

    44 = 20*a, divides por 20 en ambos miembros, y queda:

    2,2 m/s2 = a;

    luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (2), resuelves su último término, y queda:

    1004 - 9,8*M = 2,2*M + 44, restas 2,2 M y restas 1004 en ambos miembros, y queda:

    -12*M = -960, divides por -12 en ambos miembros, y queda:

    M = 80 Kg, que es el valor de la masa del hombre;

    luego, a fin de verificar, reemplazas los dos valores remarcados en la ecuación señalada (1), y queda:

    960 - 9,8*80 = 80*2,2, resuelves términos, y queda:

    960 - 784 = 176, resuelves el primer miembro, y queda:

    176 = 176, que es una Identidad Verdadera,

    por lo que puedes concluir que los valores remarcados constituyen la solución válida del problema.

    Espero haberte ayudado.

    thumb_up2 voto/sflag
  • icon

    DAVID
    el 2/10/18

    No entiendo cómo se hace


    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Raúl RC
    el 3/10/18

    Debes aplicar el principio de superposicion y calcular la fuerza resultante que actua sobre la masa m' a partir de las fuerzas ejercidad por cada una por separado utilizando la ley de la Gravitacion Universal de Newton

    thumb_up0 voto/sflag
  • icon

    I'm a your worse nightmare
    el 1/10/18

    quería saber si me podeís ayudar con este pequeño problema, es que no llego a entender muy bien como hacerlo.

    Mas o menos he entendido que el campo forma un angulo de 60º con el eje z y es paralelo al eje yz.

    Pero no se como calcular el flujo en ambos apartados.

    Gracias.

    replythumb_up0 voto/sflag
    icon

    Antonio Silvio Palmitano
    el 2/10/18

    Observa que las líneas de campo son paralelas al plano coordenado OYZ, por lo que tienes que la primera componente en la expresión del campo es igual a cero, por lo que puedes plantear:

    F = < 0 , f*sen(60º) , f*cos(60º) >,

    y observa que las tres componentes del campo son constantes, por lo que tienes que el campo tiene componentes continuas con derivadas parciales primeras continuas en R3.

    a)

    Observa que la superficie (S) es un disco circular incluido en el plano OXY, y que es una superficie abierta, simplemente conexa, suave y orientable, y que puedes considerar que su vector normal es: N = < 0 , 0 , 1 >, y observa que este vector es unitario.

    Observa que la superficie está limitada por una curva (C) continua, suave en un solo trazo, simple, y que la puedes recorrer con sentido antihorario vista desde el semieje coordenado OZ positivo.

    Luego, puedes plantear la integral de flujo del campo vectorial a través de la superficie:

    S1 F•n*dS = 

    proyectas la superficie sobre el plano coordenado OXY (observa que coincide con su región de proyección), y queda:

    = ∫R FN*dA = 

    sustituyes expresiones, y queda:

    R< 0 , f*sen(60º) , f*cos(60º) >< 0 , 0 , 1 >*dx*dy =

    resuelves el producto escalar, y queda:

    Rf*cos(60º)*dx*dy =

    extraes factores constantes, y queda:

    f*cos(60º)*R1*dx*dy =
    resuelves la integral (observa que es igual al área del disco), y queda:

    f*cos(60º)*π*R2

    = 0,5*π*R2*f.

    b)

    Observa que la superficie cerrada (SC) es simple, suave en dos secciones (S1 y S2), y observa que encierra a un sólido (B) que es simple, por lo que tienes que se cumplen las hipótesis de Teorema de la Divergencia (o de Ostrogradski, o de Gauss), por lo que puedes plantear:

    S1 F•n*dS + S2 F•n*dS = SCF•n*dS,

    sustituyes el valor del primer término, que tienes calculado en el inciso anterior, y queda:

    0,5*π*R2*f + S2 F•n*dS = SCF•n*dS, 

    aplicas el Teorema de la Divergencia en el segundo miembro, y queda:

    0,5*π*R2*f + S2 F•n*dS = ∫ div(F)*dx*dy*dz,

    reemplazas la expresión de la divergencia del campo vectorial (observa que en este caso es igual a cero), y queda:

    0,5*π*R2*f + S2 F•n*dS = ∫ 0*dx*dy*dz,

    resuelves la integral del segundo miembro, y queda:

    0,5*π*R2*f + S2 F•n*dS = 0,

    restas 0,5*π*R2*f en ambos miembros, y queda:

    thumb_up3 voto/sflag