Tu consulta corresponde al Foro de Matemáticas, pero igualmente ahí vamos.

Comienza por plantear la expresión de numerador:

N = lnt + t, cuya derivada queda expresada: N ' = 1/t + 1;

luego, planteas la expresión del denominador (observa que aplicamos la identidad logarítmica: ln(1/t) = -lnt):

D = -lnt + t, cuya derivada queda expresada: D ' = -1/t + 1.

Luego, aplicas la Regla de la División, y la derivada queda expresada:

u ' = ( N ' * D - N * D ' ) / D²,

aquí sustituyes expresiones, y queda:

u ' = ( (1/t+1)*(-lnt+t) - (lnt+t)*(-1/t+1) ) / (-lnt+t)²,

distribuyes en el argumento en el primer agrupamiento, y queda:

u ' = ( -lnt/t + 1 - lnt + t + lnt/t - lnt + 1 - t ) ) / (-lnt+t)²,

reduces términos semejantes en el numerador (observa que tienes cancelaciones), y queda:

u ' = ( -2*lnt + 2 ) / (-lnt+t)²,

extraes factor común en el numerador, y queda:

u ' = 2*(-lnt+1) / (-lnt+t)²,

y recuerda que el dominio de la función derivada debe estar incluido en el dominio de la función.

Espero haberte ayudado.

El apartado b) no es preciso pues no dice de qué magnitud encontrar el módulo y la dirección.

Saludos.

Establece un sistema de referencia con instante inicial: t_i = 0 en el momento en que el balón es pateado por el futbolista, con origen de coordenadas en el punto correspondiente, con eje OX paralelo al suelo con dirección y sentido acordes al desplazamiento del balón, y con eje OY vertical con sentido hacia arriba (observa que empleamos unidades internacionales, y que consideramos que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es: g = 9,8 m/s).

Luego, tienes los datos iniciales:

x_i = 0 e y_i = 0 (componentes de la posición inicial del balón),

v_i = 100 p/s = 100*0,3048 = 30,48 m/s (módulo de la velocidad inicial del balón),

θ = 30º = π/6 rad (inclinación de la velocida inicial del balón con respecto al suelo).

Luego, planteas las ecuaciones de las componentes de la posición y de la velocidad de Tiro Oblicuo (o Parabólico), y queda:

x = x_i + v_i*cosθ*t,

y = y_i + v_i*senθ*t - (1/2)*g*t²,

v_x = v_i*cosθ,

v_y = v_i*senθ - g*t;

luego, reemplazas valores, cancelas términos nulos, resuelves coeficientes, y queda:

x ≅ 26,396*t (1),

y = 15,24*t - 4,9*t² (2),

v_x ≅ 26,396 m/s (3),

v_y = 15,24 - 9,8*t (4).

a)

Planteas la condición de altura máxima ("el balón no sube ni baja"), y queda:

v_y = 0, sustituyes la expresión señalada (4), y queda:

15,24 - 9,8*t = 0, y de aquí despejas: t ≅ 1,555 s, que es el instante correspondiente;

luego, reemplazas este valor en las ecuaciones señaladas (1) (2), resuelves, y queda:

x ≅ 41,046 m (componente horizontal de la posición en estudio),

y ≅ 11,850 m (componente vertical de la posición en estudio),

y la expresión del vector posición queda:

r(1,555) ≅ < 41,046 , 11,850 > (en m).

b)

Tienes el valor de la componente horizontal de la posición en estudio:

x = 30 p = 30*0,3048 = 9,144 m;

luego, reemplazas este valor en la ecuación señalada (1), y queda:

9,144 ≅ 26,396*t, y de aquí despejas: t ≅ 0,346 s, que es el valor del instante correspondiente;

luego, reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda:

y ≅ 4,686 m, que es el valor de la componente vertical de la posición en estudio;

luego, planteas la expresión vectorial de la posición en estudio, y queda:

r(0,346) ≅ < 30 , 4,686 > (en m);

luego, planteas la expresión de la tangente del ángulo de inclinación del vector posición en estudio, y queda:

tanφ = y/x, reemplazas valores, y queda:

tanφ ≅ 4,686/30, resuelves, y queda:

tanφ ≅ 0,156, compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente, y queda:

φ ≅ 8,878º ≅ (8,878º/180º)*π ≅ 0,049π rad.

Espero haberte ayudado.

Tienes los datos:

M = 1500 Kg (masa del coche),

v_i = 120 Km/h = 120*1000/3600 = 100/3 m/s (velocidad inicial del coche),

v_f = 0 (velocidad final del coche).

Luego, planteas la expresión de la variación de energía cinética del coche (observa que como su desplazamiento es horizontal, entonces su energía potencial gravitatoria permanece constate), y queda:

ΔEC = EC_f - EC_i, sustituyes expresiones, y queda:

ΔEC = (1/2)*M*v_f² - (1/2)*M*v_i², extraes factores comunes, y queda:

ΔEC = (1/2)*M*(v_f² - v_i²), reemplazas valores, y queda:

ΔEC = (1/2)*1500*(0² - (100/3)² ), resuelves el agrupamiento, y queda:

ΔEC = (1/2)*1500*(-10000/9), resuelves, y queda:

ΔEC = -2500000/3 J ≅ -833333,333 J.

Luego, planteas la ecuación trabajo-energía, y queda:

W = ΔEC, reemplazas el valor remarcado, y queda:

W = -2500000/3 J ≅ -833333,333 J,

que es el valor del trabajo total realizado sobre el coche por el sistema de frenos y el rozamiento del camino sobre las ruedas, para poder detenerlo.

Espero haberte ayudado.

El potencial del punto inicial es V₁ y el potencial del punto final es V₂.

Observa que si tienes: V₁ > V₂, entonces la diferencia de potencial es positiva,

y si tienes: V₁ < V₂, ocurre el caso contrario.

Recuerda además que el sentido de un campo electrostático es desde un punto de mayor potencial hacia un punto de menor potencial, y lo mismo ocurre para las intensidades de corriente eléctrica en los circuitos.

Espero haberte ayudado.

Considera un sistema de referencia con eje de posiciones OY vertical, con sentido positivo hacia abajo, y con origen de coordenadas en la posición que corresponde al cuerpo cuando está colgado y en reposo.

a)

Con el cuerpo en reposo, tienes que actúan dos fuerzas verticales, cuyos módulos y sentidos indicamos (observa que empleamos unidades internacionales, y que consideramos que el módulo de la aceleración gravitatoria terrestre es: g = 10 m/s²):

Peso: P = M*g = 2*10 = 20 N, hacia abajo,

Fuerza recuperadora: F_r = k*Δs = k*0,04 (en Newtons), hacia arriba;

luego, aplicas la Primera Ley de Newton, y tienes la ecuación:

-F_r + P = 0, multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:

F_r - P = 0, sumas P en ambos miembros, y queda:

F_r = P, sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:

k*0,04 = 20, divides en ambos miembros por 0,04, y queda:

k = 500 N/m.

b)

Planteas la expresión de la frecuencia tal como la has consignado, y queda:

f = √(k/M), reemplazas valores, y queda:

f = √(500/2), resuelves, y queda:

f = 5√(10) Hz ≅ 15,811 Hz;

luego, planteas la expresión de la pulsación (frecuencia angular), y queda:

ω = 2π*f, reemplazas el valor de la frecuencia, y queda:

ω = 2π*5√(10), resuelves, y queda:

ω = 10√(10)π rad/s ≅ 99,346 rad/s.

c)

Tienes el valor de la amplitud de oscilación: A = 5 cm = 0,05 m, y si consideras el instante inicial: t_i = 0 al que corresponde al momento en el que el bloque es liberado, puedes plantear la expresión de la función posición en la forma (observa que empleamos el coseno, debido a que en el instante inicial el bloque se encontraba en un punto de máximo alejamiento con respecto a su posición de equilibrio):

y(t) = A*cos(ω*t), reemplazas valores, y queda:

y(t) = 0,05*cos(10√(10)π*t).

Espero haberte ayudado.