Considera un sistema de referencia con eje OX horizontal con sentido positivo acorde al desplazamiento de la bola, con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba, con origen de coordenadas en el pie de la mesa, y con instante inicial: t_i = 0 correspondiente a la llegada de la bola al borde de la mesa.

Luego, tienes los datos iniciales:

x_i = 0, y_i = 80 cm = 0,8 m (componentes de la posición inicial de la bola),

v_xi = 0,5 m/s, v_yi = 0 (componentes de la velocidad inicial de la bola),

a_x = 0, a_y = -g = -9,8 m/s² (componentes de la aceleración de la bola).

Luego, aplicas para las dos direcciones (OX y OY) las ecuaciones de posición de Movimiento Parabólico, cancelas términos nulos, resuelves coeficientes, y queda:

x = 0,5*t (1),

y = 0,8 - 4,9*t² (2).

Luego, planteas la condición de llegada a nivel del suelo, y queda:

y = 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

0,8 - 4,9*t² = 0, y de aquí despejas:

t = √(0,8/4,9) ≅ 0,4.04 s.

Luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

x ≅ 0,5*0,404 ≅ 0,202 m,

que es la expresión de la componente horizontal de la posición de la bola cuando ésta toca el suelo.

Espero haberte ayudado.

Prueba en el foro de tecnología, que es mas específico sobre estructuras etc ;)

Planteas la expresión general de la función desplazamiento de una onda, y queda:

x = A*sen(ω*t + φ) (1),

donde tienes los datos:

Amplitud: A,

Pulsación (o frecuencia angular): ω,

Fase inicial: φ;

luego, planteas la expresión de la frecuencia de oscilación y del periodo de oscilación en función de la pulsación, y queda:

f = ω/(2π),

T = 2π/ω.

Luego, a partir de la expresión de la función que tienes en tu enunciado, tienes los datos:

A = 4 m (amplitud),

ω = 3π rad/s (pulsación)

φ = π rad (fase inicial).

a)

A = 4 m,

φ = π rad,

f = ω/(2π) = 3π/(2π) = 3/2 = 1,5 Hz.

b)

Derivas con respecto a tiempo en la expresión de la función elongación señalada (1), y la expresión de la función velocidad queda:

v = A*ω*cos(ω*t + φ) (2), reemplazas datos, y queda:

v = 4*3π*cos(3π*t + π), resuelves el coeficiente, y queda:

v = 12π*cos(3π*t + π);

luego, derivas con respecto a tiempo en la expresión de la función velocidad señalada (2), y la expresión de la función aceleración queda:

a = -A*ω²*sen(ω*t + φ) (2), reemplazas datos, y queda:

a = -4*(3π)²*sen(3π*t + π), resuelves el coeficiente, y queda:

a = -36π²*sen(3π*t + π).

c)

A partir del coeficiente en la expresión de la función velocidad, tienes que la amplitud de velocidad (o rapidez máxima) queda expresada:

v_M = |12π| = 12π m/s;

luego, a partir del coeficiente en la expresión de la función aceleración, tienes que la amplitud de aceleración (o módulo de la aceleración máxima) queda expresada:

a_M = |-36π²| = 36π² m/s².

d)

a(0,25) =  -36π²*sen(3π*0,25 + π) = -36π²*sen(0,75π + π) = -36π²*sen(1,75π),

y solo queda que hagas el cálculo;

luego, planteas la expresión de la posición en estudio:

x = 1, sustituyes la expresión de la posición que tienes en tu enunciado, y queda:

4*sen(3π*t + π) = 1, divides por 4 en ambos miembros, y queda:

sen(3π*t + π) = 1/4,

compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda (observa que expresamos al resultado en radianes):

3π*t + π ≅ 0,253, restas π en ambos miembros, y luego divides por 3π en ambos miembros, y queda:

t ≅ -0,253,

aquí sumas π en el segundo miembro (observa que no se altera el valor del factor trigonométrico en la expresión de la función posición que tienes en tu enunciado), y queda:

t ≅ 2,889 s;

luego, solo queda que evalúes las expresiones de la función velocidad y de la función aceleración para este último valor (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Prueba en el foro de matemáticas, que es mas específico sobre derivadas etc

Charán no resolvemos dudas de universidad, en este caso de Óptica propias de 3º de carrera, lo lamento de corazón. ójala algun otro unico universitario pueda ayudarte, la idea sería que os ayudárais los unos a los otros ;)

Consideramos que el sistema de coordenadas OXY usual según la figura de tu enunciado.

Luego, planteas las expresiones de las componentes de las cantidades de movimiento de las esferas, y queda:

P_Ax = M_A*v_Ax = 0,1*(-1,2) = -0,12 N*s,

P_Ay = M_A*v_Ay = 0,1*0 = 0;

P_Bx = M_B*v_Bx = 0,2*(-0,6)*cos(60°) = -0,0,6 N*s,

P_By = M_B*v_By = 0,2*(-0,6)*sen(60°) ≅ -0,104 N*s;

P_Cx = M_C*v_Cx = 0,5*v_Cx*cos(30°) ≅ 0,433*v_Cx (en N*s),

P_Cy = M_C*v_Cy = 0,5*v_Cy*sen(30°) = 0,25*v_Cy (en N*s).

Luego, planteas las expresiones de la cantidad de movimiento resultante inicial, y queda:

P_ix = P_Ax + P_Bx + P_Bx ≅ -0,12 - 0,06 + 0,433*v_Cx ≅ -0,18 + 0,433*v_Cx (1),

P_iy = P_Ay + P_By + P_By = 0 - 0,104 + 0,25*v_Cy = -0,104 + 0,25*v_Cy (2).

Luego, como las tres esferas quedan en reposo, tienes que las componentes de la cantidad de movimiento final son:

P_fx = 0 (1*),

P_fy = 0 (2*).

Luego, planteas conservación de la cantidad de movimiento, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:

P_ix = P_fx,

P_iy = P_fy;

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (1*) (2) (2*), y las expresiones de las componentes de la velocidad de la esfera C antes del choque quedan:

-0,18 + 0,433*v_Cx ≅ 0, y de aquí despejas: v_Cx ≅ 0,18/0,433 ≅ 0,416 m/s,

-0,104 + 0,25*v_Cy = 0, y de aquí despejas: v_Cy = 0,104/0,25 = 0,416 m/s;

luego, planteas la expresión de la rapidez de la esfera C en función de las componentes de su velocidad, y queda:

v_C = √(v_Cx² + v_Cy²) ≅ √(0,416² + 0,416²) ≅ √(0,346) ≅ 0,588 m/s.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que el barco no es macizo, sino que contiene enormes cámaras de aire en sus bodegas, cubiertas y demás dependencias, por lo que tienes que su densidad de masa promedio (δ_p) es menor que la densidad del agua (δ_a), por lo que tienes la desigualdad:

δ_p < δ_a (1).

Observa que el módulo del peso del barco en función del volumen total del barco y de su densidad de masa promedio queda espesado:

P = δ_p*V_T*g, y de aquí despejas: δ_p = P/(V_T*g) (2).

Observa que el módulo del empuje que ejerce el agua sobre el barco en función del volumen sumergido y de la densidad de masa del agua queda expresado:

E = δ_a*V_S*g, y de aquí despejas: δ_a = E/(V_S*g) (3).

Luego, aplicas la Primera Ley de Newton (consideramos un sistema de referencia con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba), y queda:

E - P = 0, sumas P en ambos miembros, y queda:

E = P, sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:

δ_a*V_S*g = δ_p*V_T*g, divides por δ_a*g en ambos miembros, simplificas, y queda:

V_S = (δ_p/δ_a)*V_T, que es la expresión del volumen sumergido en función del volumen total y de las densidades.

Espero haberte ayudado.

Consideramos un sistema de referencia con origen de coordenadas en el centro óptico de las lentes, con eje OX perpendicular a las mismas, y con eje OY paralelo a las lentes, con dirección y sentido acordes a la orientación del objeto luminoso.

Luego, de acuerdo con este sistema de referencia, tienes que las ecuaciones de posición y de aumento para una lente delgada quedan:

1/x' - 1/x = -1/f,

y'/y = x'/x.

Luego, para la primera lente tienes los datos:

f₁ = 50 mm = 0,05 m (posición del foco objeto de la primera lente),

x = a determinar (posición del objeto luminoso),

x₁' = -4 cm = -0,04 m (posición de la imagen producida por la primera lente);

luego, reemplazas valores en la ecuación de posición, y queda:

1/(-4) - 1/x = -1/0,05, resuelves términos numéricos, y queda:

-1/4 - 20/x = -20, sumas 1/4 en ambos miembros, y queda:

-20/x = -79/4, y de aquí despejas:

x = 80/79 m ≅ 1,013 m.

Luego, para la segunda lente tienes los datos:

f₂ = a determinar (posición del foco objeto de la primera lente),

x = 80/79 (posición del objeto luminoso),

x₁' = -6 cm = -0,06 m (posición de la imagen producida por la primera lente);

luego, reemplazas valores en la ecuación de posición, y queda:

1/(-6) - 1/(80/79) = -1/f₂, resuelves términos numéricos, y queda:

-277/240 = -1/f₂, y de aquí despejas:

f₂ = 240/277 m ≅ 0,866 m.

Luego, planteas la expresión de la potencia (en dioptrías) de la segunda lente en función de su distancia focal (en metros), y queda:

P₂ = 1/f₂ = 1/(240/277) = 277/240 dp ≅ 1,154 dp.

Espero haberte ayudado.

En cualquier libro de física decente te lo explica, pero por si acaso aqui lo tienes

https://www.fisicalab.com/apartado/aceleracion-tangencial#contenidos