1)

Tienes la expresión de la función:

σ(x) = √(2x-2) (1),

y la expresión de la función derivada queda:

σ ' (x) = x/√(2x-2) (2).

Luego, observa que el argumento de la raíz en la expresión señalada (1) debe cumplir la condición:

2x - 2 ≥ 0, sumas 2 en ambos miembros, y queda: 2x ≥ 2, divides por 2 en ambos miembros, y queda: x ≥ 1,

por lo que tienes que el dominio de la función es: D = [1,+∞), observa que la expresión de la función toma valores mayores o iguales que cero,

y observa que la función derivada no está definida en: x₁ = 1, pero si lo está en todos los demás elementos del dominio de la función.

Luego, planteas la condición de corte entre la gráfica de la función y el eje OX, y queda:

σ(x) = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

√(2x-2) = 0, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

2x - 2 = 0, sumas 2 en ambos miembros, y queda: 2x = 2, divides por 2 en ambos miembros, y queda: x = 1,

por lo que tienes que el punto de corte entre la gráfica de la función y el eje OX es: A(1,0).

Luego, observa que x = 0 no pertenece al dominio de la función, por lo que tienes que su gráfica no corta al eje OY.

Luego, observa que los elementos del dominio de la función son estrictamente positivos, por lo que tienes que la gráfica no es simétrica con respecto al eje OY, y como la expresión de la función toma valores mayores o iguales que 0, tienes que la gráfica no es simétrica con respecto al eje OX.

Luego, plantea la condición de valor crítico (posible mínimo o posible máximo):

σ ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

x/√(2x-2) = 0, multiplicas por √(2x-2) en ambos miembros, y queda:

x = 0, que no pertenece al dominio de la función, por lo que tienes que la gráfica no presenta valores críticos;

luego, planteas la expresión de la función derivada señalada (2), y queda:

σ ' (x) = x/√(2x-2), y observa que toma valores estrictamente positivos para todos los elementos del dominio de la función, excepto para x₁ = 1 para el cuál la función derivada no está definida, por lo tanto tienes que la gráfica de la función es creciente en todo su dominio,

y presenta un mínimo absoluto en x₁ = 1 (recuerda que este elemento si pertenece al dominio de la función).

Espero haberte ayudado.

2)

Tienes la expresión de la función:

ρ(x) = √(9-x²) (1),

y la expresión de la función derivada queda:

ρ ' (x) = -x/√(9-x²) (2).

Luego, observa que el argumento de la raíz en la expresión señalada (1) debe cumplir la condición:

9-x² ≥ 0, restas 9 en ambos miembros, y queda: -x² ≥ -9, divides por -1 en ambos miembros, y queda: x² ≤ 9, extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que el índice de la raíz y el exponente de la potencia son pares), y queda: |x| ≤ 3,

por lo que tienes que el dominio de la función es: D = [-3,3], observa que la expresión de la función toma valores mayores o iguales que cero,

y observa que la función derivada no está definida en: x₁ = -3, y en: x₂ = 3, pero si lo está en todos los demás elementos del dominio de la función.

Luego, planteas la condición de corte entre la gráfica de la función y el eje OX, y queda:

ρ(x) = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

√(9-x²) = 0, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

9 - x² = 0, restas 9 en ambos miembros, y queda: -x² = -9, divides por -1 en ambos miembros, y queda: x² = 9, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y queda: |x| = 3,

por lo que tienes que los puntos de cortes entre la gráfica de la función y el eje OX son: A₁(-3,0) y A₂(3,0).

Luego, planteas la condición de corte entre la gráfica de la función y el eje OY, y queda:

ρ(0) = √(9-0²) = √(9) = 3 (recuerda que la raíz cuadrada toma solo valores positivos),

por lo que tienes que el punto de corte entre la gráfica de la función y el eje OY es: B(0,3).

Luego, observa que la función toma valores positivos, por lo que su gráfica no es simétrica con respecto al eje OX.

Luego, observa que para cada elemento perteneciente al dominio de la función tienes que su opuesto también pertenece al dominio, y observa que se cumple la condición de simetría con respecto al eje OY:

ρ(-x) = √(9-(-x)²) = √(9-x²) = ρ(x),

por lo que tienes que la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje OY.

Luego, planteas la condición de crecimiento, y queda:

ρ ' (x) > 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

-x/√(9-x²) > 0, multiplicas por √(9-x²) en ambos miembros, y queda: -x > 0, divides por -1 en ambos miembros, y queda: x < 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es creciente en el intervalo: I_c = (-3,0).

Luego, planteas la condición de decrecimiento, y queda:

ρ ' (x) < 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

-x/√(9-x²) < 0, multiplicas por √(9-x²) en ambos miembros, y queda: -x < 0, divides por -1 en ambos miembros, y queda: x > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es decreciente en el intervalo: I_d = (0,3).

Luego, plantea la condición de valor crítico (posible mínimo o posible máximo):

ρ ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

-x/√(9-x²) = 0, multiplicas por √(9-x²) en ambos miembros, y queda:

-x = 0, divides por -1 en ambos miembros, y queda:

x = 0, que si pertenece al dominio de la función, por lo que tienes que la gráfica presenta el valor crítico: x₃ = 0,

y como tienes que la gráfica de la función es creciente para valores menores que 0, y que es decreciente para valores mayores que 0, puedes concluir que la gráfica de la función presenta máximo absoluto en: x₃ = 0.

luego, evalúas la expresión de la función en los extremos del dominio, y queda:

ρ(-3) = √(9-(-3)²) = √(9-9) = √(0) = 0, y ρ(3) = √(9-(3)²) = √(9-9) = √(0) = 0, 

por lo que tienes que la gráfica de la función presenta mínimos absolutos en x₁ = -3 y x₂ = 3.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Profesor Antonio, ¿usted utiliza algún software para desarrollar los ejercicios sin necesidad de escribirlos en una pizarra?

Lo tienes bien.

Cambio t=x^2

dt=2x dx

Resultado de la integral:

(1/2) *arctan(x^2)+C

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Vamos con una variante del desarrollo que propone el colega César.

Tienes la ecuación logarítmica:

3*log(x) = ∛( log(x) ),

elevas al cubo en ambos miembros, y queda:

( 3*log(x) )³ = log(x), 

distribuyes la potencia en el primer miembro, resuelves el coeficiente, y queda:

27*( log(x) )³ = log(x),

restas log(x) en ambos miembros, y queda:

27*( log(x) )³ - log(x) = 0,

extraes factor común, y queda:

log(x)*( 27*( log(x) )² - 1 ) = 0;

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

1°)

log(x) = 0, compones con la función inversa del logaritmo en base 10 en ambos miembros, y queda:

x = 10⁰, resuelves el segundo miembro, y queda:

x = 1;

2°) 

27*( log(x) )² - 1 = 0, sumas 1 en ambos miembros, y queda:

27*( log(x) )² = 1, multiplicas por 3 en ambos miembros, y queda:

81*( log(x) )² = 3, divides por 81 en ambos miembros (observa que no simplificamos en el segundo miembro), y queda:

( log(x) )² = 3/81, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

a)

log(x) = -√(3)/9, compones con la función inversa del logaritmo en base 10 en ambos miembros, y queda:

x = 10^-√(3)/9,

b)

log(x) = √(3)/9, compones con la función inversa del logaritmo en base 10 en ambos miembros, y queda:

x = 10^√(3)/9.

Espero haberte ayudado.