Tienes la identdidad trigonométrica:

cos⁴A - cos²A = sen⁴A - sen²A (1).

Luego, puedes estudiar la expresión que tienes en el segundo miembro:

sen⁴A - sen²A = extraes factor común, y queda:

= sen²A*(sen²A - 1) = aplicas la identidad del cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno, y queda:

= (1 - cos²A)*(1-cos²A - 1) = cancelas términos opuestos en el segundo factor, y queda:

= (1 - cos²A)*(-cos²A) = distribuyes, y queda:

= -cos²A + cos⁴A = conmutas términos, y queda:

= cos⁴A - cos²A.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta r, para ello restas x y sumas 1 en ambos miembros de la ecuación que tienes en tu enunciado, y queda:

y = -x + 1,

por lo que tienes que la pendiente de la recta r es: m_r = -1, y su ordenada al origen es: b_r = 1.

Luego, puedes plantear la condición de perpendicularidad entre la recta r y la rectas s:

m_s = -1/m_r, reemplazas valores, y queda:

m_s = -1/(-1), resuelves, y queda:

m_s = 1, que es el valor de la pendiente de la rectas s.

Luego, con el valor de la pendiente que hemos remarcado, y las coordenadas del punto: A(2,1), puedes plantear la ecuación cartesiana "punto-pendiente" de la recta s, y queda:

y = m_s*(x - x_A) + y_A, reemplazas valores, y queda:

y = 1*(x - 2) + 1, distribuyes el factor común, reduces términos semejantes, y queda:

y = x - 1, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta s, cuya ordenada al origen es: b_s = -1;

luego, restas x y sumas 1 en ambos miembros, y queda:

-x + y + 1 = 0, que es una ecuación cartesiana implícita de la recta s.

Espero haberte ayudado.

Tienes tres expresiones con valor absoluto, y observa que las dos primeras son equivalentes:

a)

|3-x| = |-1*(-3+x)| = |-1|*|-3+x| = 1*|-3+x| = |-3+x| = |x-3| =

x-3                               si x-3≥0, aquí sumas 3 en ambos miembros, y queda: x≥3 (1),

-(x-3) = -x+3               si: x-3<0, aquí restas 3 en ambos miembros, y queda: x<3 (2),

y observa que la expresión a trozos tiene como valor de corte: x_a = 3;

b)

|x-2| =

x-2                               si x-2≥0, aquí sumas 2 en ambos miembros, y queda: x≥2 (3),

-(x-2) = -x+2               si: x-2<0, aquí sumas 2 en ambos miembros, y queda: x<2 (4),

y observa que la expresión a trozos tiene como valor de corte: x_b = 2;

luego, observa que con los dos puntos de corte tienes tres intervalos:

A = (-∞,2), donde son válidas las expresiones señaladas (2) (4),

B = [2,3), para el que son válidas las expresiones señaladas (2) (3),

C = [3,+∞), para el que son válidas las expresiones señaladas (1) (3),

y observa que las expresiones señaladas (1) (4) no son válidas al mismo tiempo para ningún valor x real.

Luego, planteas la inecuación de tu enunciado para cada intervalo, y queda:

1°)

para el intervalo A = (-∞,2):

(-x+3) + (-x+3) - (-x+2) > 1, distribuyes agrupamientos, y queda:

-x + 3 - x + 3 + x - 2 > 1, reduces términos semejantes, y queda:

-x + 4 > 1, restas 4 en ambos miembros, y queda:

-x > -3, multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

x < 3, por lo que tienes que todos los elementos del intervalo A son solución de la inecuación de tu enunciado;

2°)

para el intervalo B = [2,3):

(-x+3) + (-x+3) - (x-2) > 1, distribuyes agrupamientos, y queda:

-x + 3 - x + 3 - x + 2 > 1, reduces términos semejantes, y queda:

-3x + 8 > 1, restas 8 en ambos miembros, y queda:

-3x > -7, divides por -3 en ambos miembros, y queda:

x < 7/3, por lo que tienes que no todos los elementos del intervalo B son solución de la inecuación de tu enunciado,

por lo que tienes el subintervalo: B₁[2,7/3);

3°)

para el intervalo: C = [3,+∞):

(x-3) + (x-3) - (x-2) > 1, distribuyes agrupamientos, y queda:

x - 3 + x - 3 - x + 2 > 1, reduces términos semejantes, y queda:

x - 4 > 1, sumas 4 en ambos miembros, y queda:

x > 5, por lo que tienes que no todos los elementos del intervalo C son solución de la inecuación de tu enunciado,

por lo que tienes el subintervalo: C₁(5,+∞).

Luego, tienes para el intervalo solución de la inecuación de tu enunciado:

S = B₁ ∪ C₁ = [2,7/3) ∪ (5,+∞).

Espero haberte ayudado.

Si la integral va de 0 a pi, entonces la función es constante. Consulta a tus docentes.

Tal como indica el colega Antonio, si el límite superior de la integral es π, entonces tienes una integral definida (observa que el argumento de la integral corresponde a una función continua), por lo que su resultado es un número.

Pero, si el límite superior es x, que es una variable, aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y la expresión de la función derivada queda:

f ' (x) = sen(πx²/2) (1), que está definida en en el intervalo: A = (-3,3),

y la expresión de la función derivada segunda queda:

f ' ' (x) = πx*cos(πx²/2) (2), que está definida en el intervalo: A = (-3,3).

Y de aquí en adelante, vamos con una orientación.

Luego, planteas la condición de valor crítico (posible máximo o posible mínimo), y queda:

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

sen(πx²/2) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del seno, y queda:

πx²/2 = kπ, con k ∈ N (observa que k puede tomar solamente valores positivos),

multiplicas en ambos miembros de la ecuación por 2/π, y queda:

x² = 2k, con k ∈ N,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y queda:

x = √(2k), con k ∈ N,

y observa que tienes valores pertenecientes al intervalo para k = 0, 1, 2, 3, 4;

luego, tienes que los valores críticos son: x = 0, x = ±√(2), x = ±√(4), x = ±√(6), x = ±√(8);

luego, puedes evaluar los nueve valores en la expresión de la función derivada segunda, y tendrás:

máximo relativo, si obtienes un valor negativo,

mínimo relativo, si obtienes un valor positivo,

inflexión horizontal, si obtienes el valor cero.

Luego, planteas la condición de posible punto de inflexión, y queda:

f ' ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2), y queda:

πx*cos(πx²/2) = 0, divides por π en ambos miembros, y queda:

x*cos(πx²/2) = 0;

luego por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

x = 0, que ya hemos señalado y estudiado anteriormente;

b)

cos(πx²/2) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

πx²/2 = (k + 1/2)π, con k ∈ N (observa que k puede tomar solamente valores positivos),

multiplicas por 2/π en ambos miembros, y queda:

x² = 2(k + 1/2), distribuyes el segundo miembro, y queda:

x² = 2k + 1, con k ∈ N,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y queda:

x = √(2k+1), 

y observa que tienes valores pertenecientes al intervalo para k = 0, 1, 2, 3;

luego, tienes que los valores correspondientes a posibles inflexiones son: x = 1, x = ±√(3), x = ±√(5), x = ±√(7).

Luego, queda que hagas la tarea de verificar crecimiento (o decrecimiento) y concavidad para cada subintervalo cuyos extremos sean valores críticos o valores de posible inflexión.

Espero haberte ayudado.

En esta integral al ser evaluada el área es igual a 0, por lo tanto es una integral divergente

Primero simplifiqué la expresión con una división algebraica, de tal manera que quede el cociente + residuo/divisor

Al calcular los límites, restas el límite mayor menos el límite menor, el resultado es 2.68 unidades cuadradas 

Ok.

Y si aplico sustitucion (con eso cambiarian los limites)

¿estaria mal?

En el ejercicio #1 no pude entender el 2x^7-81

El máximo lo tendrías en x=1 e y=1 y el mínimo en x=-1 e y=-1