(1/3)/(1/9)=3

(5/2)/(1/9)=45/2

(8/6)/(1/9)=12

(2+2/9)/(1/9)=20

Quieres sacar factor común la matriz A, por la dcha o por izquierda. Cuando queremos sacar factor común el 2 en esta expresión:

                                    4x+2 = 2*(2x+1)

ponemos el 1, porque es la unidad (x*1=x para todo x). En matrices, la unidad es la matriz identidad ( I ) pues

                                    A^2+A =A*(A+I)

Puedes plantear la sustitución:

y ' = p.

Luego, derivas con respecto a x, y queda:

y ' ' = dp/dx = (dp/dy)*(dy/dx) = (dp/dy)*y ' = sustituyes = (dp/dy)*p = p*dp/dy.

Luego, tienes la ecuación diferencial de tu enunciado:

y ' ' = (y ')²/y,

sustituyes las expresiones remarcadas, y queda:

p*dp/dy = p²/y,

divides por p en ambos miembros, y queda

dp/dy = p/y,

separas variables, y queda:

(1/p)*dp = (1/y)*dy,

integras en ambos miembros, y queda:

ln(p) = ln(y) + c,

escribes a la constante c como un logaritmo de otra constante positiva, y queda:

ln(p) = ln(y) + ln(C),

aplicas la propiedad del logaritmo de una multiplicación en el segundo miembro, y queda:

ln(p) = ln(C*y),

compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

p = C*y;

luego, sustituyes la primera expresión remarcada, y queda:

dy/dx = C*y,

separas variables, y queda:

(1/y)*dy = C*dx,

integras, y queda:

ln(y) = C*x + d,

escribes a la constante d como el logaritmo de otra constante positiva, y queda:

ln(y) = C*x + ln(D),

compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

y = e^C*x+ln(D),

aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales, y queda:

y = e^C*x * e^ln(D),

resuelves la composición entre funciones inversas en el segundo factor, ordenas factores, y queda:

y = D*e^C*x,

que es la solución general explícita de la ecuación diferencial de segundo orden que tienes en tu enunciado.

Luego, puedes plantear las expresiones de las funciones derivadas primera y segunda, y queda:

y ' = C*D*e^C*x,

y ' ' = C²*D*e^C*x;

luego, planteas la expresión del segundo miembro de la ecuación diferencial de tu enunciado, y tienes:

( y ' )² / y = sustituyes expresiones, y queda:

= ( C*D*e^C*x )² / ( D*e^C*x ) = distribuyes el exponente en el numerador, y queda:

= C²*D²*( e^C*x )² / ( D*e^C*x ) = simplificas, y queda:

= C²*D*e^C*x = y ' '.

Espero haberte ayudado.

Hola pvdk

Te recomiendo que veas los siguientes enlaces:

https://academica.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/1.%20Nociones%20Basicas.pdf

https://www.unicoos.com/video/matematicas/3-eso/rectas-y-vectores/aplicaciones-geometricas/geometria-en-el-plano-01

Saludos

Hola Do Santos

Te dejo el resultado compañero:

Espero haberte ayudado.

Saludos

-Muchas gracias, me sirvió  mucho.

Recuerda que el baricentro de un triángulo es el punto de intersección entre sus medianas.

Luego, planteas las expresiones de los puntos medios de los lados (te dejo los cálculos), y queda:

M_AB(3,2), M_AC(-1/2,2), M_BC(7/2,5).

Luego, planteas las ecuaciones de las medianas del triángulo con cada uno de los puntos medios y sus vértices opuestos correspondientes (te dejo los planteos y los cálculos):

m_AB-C: y = -x + 5;

m_AC-B: y = (2/5)x + 11/5;

m_BC-A: y = (4/3)x + 1/3.

Luego, puedes plantear la intersección entre las dos primeras medianas, para ello igualas expresiones, y queda:

(2/5)x + 11/5 = -x + 5, multiplicas por 5 en todos los términos de la ecuación, y queda:

2x + 11 = -5x + 25, sumas 5x y restas 11 en ambos miembros, y queda:

7x = 14, divides por 7 en ambos miembros, y queda:

x = 2, luego reemplazas en las ecuaciones de las dos primeras medianas, y en ambas queda: y = 3,

por lo que tienes que el punto de intersección entre ellas queda expresado: H(2,3);

y puedes reemplazar sus coordenadas en la ecuación de la tercera mediana, y verás que te queda una identidad verdadera: 3 = 3, por lo que tienes que el punto H también pertenece a las tercera mediana, por lo que tienes que el punto H(2,3) es el baricentro del triángulo.

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión de la función, que es continua y derivable en su dominio: D = R:

f(x) = 4*sen(2x) - 2.

Luego, observa que el segundo factor del primer término está comprendido entre -1 y 1, por lo que pudes plantear la doble inecuación:

-1 ≤ sen(2x) ≤ 1, multiplicas por 4 en los tres miembros, y queda:

-4 ≤ 4*sen(2x) ≤ 4, restas 2 en los tres miembros, y queda:

-6 ≤ 4*sen(2x) - 2 ≤ 2, sustituyes la expresión de la función en el miembro central, y queda:

-6 ≤ f(x) ≤ 2, por lo que tienes que la imagen de la función es el intervalo: [ -6 , 2 ].

Luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = 8*cos(2x) (1).

Luego, planteas la expresión de la función derivada segunda, y queda:

f ' ' (x) = -16*sen(2x) (2).

Luego, planteas la condición de punto crítico (posible mínimo o posible máximo), y queda:

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

8*cos(2x) = 0, divides por 8 en ambos miembros, y queda:

cos(2x) = 0, compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:

2x = (2k-1)π/2, divides por 2 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

x = (2k-1)π/4, con k ∈ Z;

luego, evalúas para distintos valores del parámetro k (por ejemplo -2, -1, 0, 1, 2, 3), y queda:

x = -5π/4, que no pertenece al intervalo indicado;

x₁ = -3π/4, que si pertenece al intervalo indicado;

x₂ = -π/4, que si pertenece al intervalo indicado;

x₃ = π/4, que si pertenece al intervalo indicado;

x₄ = 3π/4, que si pertenece al intervalo indicado;

x₅ = 5π/4, que no pertenece al intervalo.

Luego, evalúas la expresión de la función derivada segunda para los valores remarcados, y queda:

f ' ' (-3π/4) = -16*sen(-3π/2) = -16*1 = -16 < 0;

f ' ' (-π/4) = -16*sen(-π/2) = -16*(-1) = 16 > 0;

f ' ' (π/4) = -16*sen(π/2) = -16*1 = -16 < 0;

f ' ' (3π/4) = -16*sen(3π/2) = -16*(-1) = 16 > 0;

luego, tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en los puntos: x₂ = -π/4 y x₄ = 3π/4, por lo que tienes que la gráfica de la función presenta mínimos para estos valores;

luego, tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en los puntos: x₁ = -3π/4 y x₃ = π/4, por lo que tienes que la gráfica de la función presenta máximos para estos valores.

Espero haberte ayudado.

1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0

1 + cos(x) + [cos²(x)-sen²(x)] + [4cos³(x)-3cos(x)] = 0
1 + cos(x) + cos²(x)-sen²(x) + 4cos³(x)-3cos(x) = 0

1 + cos(x) + cos²(x)-[1-cos²(x)] + 4cos³(x)-3cos(x) = 0

1 + cos(x) + cos²(x)-1+cos²(x) + 4cos³(x)-3cos(x) = 0
cos(x) + cos²(x)+cos²(x) + 4cos³(x)-3cos(x) = 0

-2cos(x) + 2cos²(x)+ 4cos³(x) = 0

sea t=cos(x)

-2t + 2t²+ 4t³ = 0

Resolvemos esta ecuación de tercer grado:

t=0, t=-1 ^ t=1/2

con t=0 => cos(x)=0 => x=π/2 ^ x=3π/2

con t=-1 => cos(x)=-1 => x=π

con t=1/2 => cos(x)=1/2 => x=π/3 ^ x=-π/3

por lo tanto:

x ∈ { π/2, 3π/2, π, π/3, -π/3 }

V(8)=104

30+ V(8)=134

V'(x)= 3t²-24t+45

V'(x)=0 => 3t²-24t+45=0 => t=3 ^ 5

V''(x)= 6t-24

V''(3)=-6<0 => Máx

V''(5)=6>0 => mín

Crece (0,3)U(5,8) y decrece (3,5)

Crece entre las 9 y las 12 y entre las 14 y las 17 y decrece entre las 12 y las 14 horas