¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Observa la ecuación de la superficie, y verás que para x = 0 e y = 0 se cumple que z = 0. por lo que el punto A(0,0,0) pertenece a la gráfica de la superficie.

Restas x*y en la ecuación de la superficie, y queda: -x*y + z = 0;

luego, observa que tienes la ecuación de una superficie de nivel de la función diferenciable, cuya expresión es: f(x,y,z) = -x*y + z,.

Luego, planteas la expresión del vector gradiente de la función, y queda: ∇f(x,y,z) = <f_x,f_y,f_z> = <-y,-x,1>,

que al evaluarlo para el punto A queda: ∇f(0,0,0) = <0,,0,1>.

Luego, recuerda que el gradiente de una función diferenciable es un vector normal a la superficie de nivel en todos sus puntos,

por lo que tienes que el punto A(0.0.0) pertenece al plano tangente y también a la superficie de nivel, y que su vector normal en dicho punto es: n = <0,0,1>.

Luego, considera un punto genérico del plano tangente: P(x,y,z), y con el punto A y el vector n puedes plantear la ecuación normal del plano:

n • AP = 0, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:

<0,0,1> • <x-0,y-0,z-0> = 0, desarrollas el producto escalar, y queda:

0*(x-0) + 0*(y-0) + 1*(z - 0) = 0, cancelas términos nulos, resuelves el tercer término del primer miembro, y queda:

z = 0, que es la ecuación cartesiana implícita del plano tangente a la superficie en el punto A.

Espero haberte ayudado.

Tienes una población de alumnos, cuyo tamaño es: n = 40.

Planteas la probabiidad para una alumno elegido al azar haya aprobado, y tienes: p = 27/40,

y la probabilidad de que dicho alumno no haya aprobado queda: p = 1 - p = 13/40.

Luego, al extraer la muestra cuyo tamaño es: k = 6, puedes plantear el problema por etapas:

1°)

elige los lugares que ocuparán los alumnos aprobados en la extracción: C(6,4) = 6! / (4!*2!) = 15 opciones,

que en forma esquemática puedes representar:

AAAADD

AAADDA AAADAD

AADDAA AADADA AADAAD 

ADDAAA ADADAA ADAADA ADAAAD

DDAAAA

DADAAA DAADAA DAAADA DAAAAD

2°)

calcula la probabilidad correspondiente a cada extracción: p⁴*q² = (27/40)⁴*(13/40)² = 27⁴*13²/40⁶;

3°)

planteas la probabilidad correspondiente a que la muestra contiene cuatro alumnos aprobados y dos desaprobados,

y por el principio de multiplicación, queda:

P = C(6,4)*(27/40)⁴*(13/40)² ≅ 0,328907.

Espero haberte ayudado.

Considera el punto A(2,-2,1) y el vector CD = <4,-6,6> y con ellos plantea la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto A y tiene como vector normal a CD:

4*(x-2) - 6*(y+2) + 6*(z-1) = 0, distribuyes, reduces términos semejantes, y queda:

4x - 6y + 6z - 26 = 0, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, y queda:

2x - 3y + 3z - 13 = 0 (1),

que es la ecuación cartesiana implícita del plano.

Luego, con el punto C(-2,0,-4) y el vector CD = <4,-6,6>, plantea las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta que pasa por el punto C y tiene como vector director a CD:

x = -2 + 4t,

y = -6t,

z = -4 + 6t,

con t ∈ R.

Luego, sustituyes las expresiones paramétricas en a ecuación del plano señalada (1), y queda:

2(-2 + 4t) - 3(-6t) + 3(-4 + 6t) - 13 = 0, distribuyes, reduces términos semejantes, y queda:

44t - 29 = 0, sumas 29 en ambos miembros, y queda:

44t = 29, divides por 38 en ambos miembros, y queda:

t = 29/44,

luego reemplazas en las ecuaciones paramétricas, resuelves, y queda:

x = 7/11,

y = -87/22,

z = -1/22,

por lo que tienes que el punto Q(7/11,-87/22,-1/22) es el punto de intersección entre el plano y la recta que pasa por el punto C y tiene a CD como vector director.

Luego, puedes plantear que la distancia entre los puntos A y Q es igual a la distancia entre los lados paralelos:

d = d(A,Q) = √( (7/11-2)² + (-87/22+2)² + (-1/22-1)² ) = √( (-15/11)² + (-43/22)² + (-23/22)² ) = y puedes concluir la tarea.

Puedes plantear la propiedad: "la mitad del módulo del producto escalar entre los vectores es igual al área del triángulo determinado por ellos":

A_T = |AB x AC|/2 = |<-2,3,-3> x <-4,2,-5>|/2 = |<-9,2,8>|/2 = √( (-9)² + 2² + 8² )/2 = √(81 + 4 + 64)/2 = √(149)/2.

Espero haberte ayudado.

Observa que para el conjunto de puntos (x,y,z) la distancia a P1 y P3 deben de ser iguales,por eso se da la primer igualdad que te ponen alli, ahora bien,elevando al cuadrado se tiene

(x-1)²  +(y-3)²    +   (z+1)²   =(x-1)²   +(y-5)²  +(z-4)²

(y-3)² + (z+1)²   =  (y-5)²  +(z-4)²

Desarrollando los binomios, se tiene que

y²-6y+9+z²+2z+1=y²-10y+25+z²-8y+16

Pasando todo al lado izquierdo

4y+10z-31=0

Hay que ver primero que la funcion sea continua en el intervalo y el unico problema lo tenemos en x=1, sabemos que para que sea continua el limite por la izquierda del 1 y por la derecha del 1 deben ser iguales e iguales a f(1)=1/2, asi el limite cuando x tiene a 1 por la izquierda es 

a(1)+b=a+b=1/2

Ahora bien, tambien se tiene que cumplir que sea derivable en x=1,si hacemos el lim h->0 (f(x+h)-f(x) )/h tanto en la izquierda como a la derecha, se tiene que

(a(x+h)+b-ax-b )/h=a

y por la derecha

(1/(x+h)²+1 -1/(x² +1) )/h =  (x² -(x+h)² )h/(( (x+h)²  +1)(x² +1) que tiene a 0 si h tiene a 0,entonces a=0

como a+b=1/2,entonces b=1/2