Tienes la matriz:

A = 

2   1

1   2;

luego, multiplicas por la incógnita α, y queda:

α*A =

2α       α

  α     2α (1).

Luego, planteas la expresión del cuadrado de la matriz que tienes en tu enunciado (te dejo la tarea de efectuar la multiplicación de la matriz por sí misma), y queda:

A² = 

5   4

4   5 (2).

Luego, planteas la expresión de la matriz identidad de orden dos, y queda:

I =

1    0

0    1;

luego multiplicas por la incógnita β, y queda:

β*I =

β    0

0    β (3).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (1) (3) en la ecuación matricial de tu enunciado, y queda:

5   4                  2α       α                 β    0                0    0

4   5        +          α     2α      +         0    β       =      0    0.

Resuelves las suma matricial en el primer miembro de la ecuación, y queda:

5+2α+β          4+α                        0    0

4+α                 5+2α+β       =        0    0.

Luego, por igualdad entre matrices,  igualas elemento a elemento, y queda el sistema de ecuaciones:

5+2α+β = 0,

4+α = 0,

4+α = 0,

5+2α+β = 0.

Luego, eliminas la cuarta ecuación porque es igual a la primera, eliminas la tercera ecuación porque es igual a la segundo, y queda el sistema de dos ecuaciones lineales y de primer grado, con dos incógnitas:

5+2α+β = 0,

4+α = 0, aquí restas 4 en ambos miembros, y queda: α = -4;

luego, reemplazas el valor remarcado en la primera ecuación, y queda:

5+2(-4)+β = 0, aquí resuelves operaciones numéricas y despejas: β = 3,

Luego, reemplazas los valores remarcados en la ecuación de tu enunciado, y tienes que la ecuación matricial de tu enunciado queda:

A² - 4*A + 3*I = O.

Espero haberte ayudado.

Tienes el determinante:

D =

2+x      4+y      6+z

3x-1      3y       3z-1

  3         4            7.

Permutas las dos primeras filas (recuerda que el determinante cambia de signo), y queda:

D = (-1)*

3x-1      3y       3z-1

2+x      4+y      6+z

  3         4            7.

Agregas un término nulo en el segundo elemento de la primera fila, y queda:

D = (-1)*

3x-1    3y+0     3z-1

2+x      4+y      6+z

  3         4            7.

Descompones el determinante como suma entre dos determinantes según los términos de la primera fila (recuerda que las demás filas quedan iguales para los dos nuevos determinantes, y queda:

D = (-1)*

3x        3y         3z               -1          0          -1 

2+x      4+y      6+z     +     2+x      4+y      6+z

  3         4            7                3         4            7.

Descompones a los dos determinantes como sumas entre dos determinantes según los términos de las segundas fila (recuerda que las demás filas quedan iguales para los cuatro nuevos determinantes, y queda:

D = (-1)*

3x       3y         3z         3x     3y    3z                 -1        0          -1              -1          0         -1

2         4           6      +   x       y       z         +        2         4           6     +       x          y           z

3         4           7           3       4      7                   3          4           7              3          4          7.

Luego, observa que tienes:

a)

el segundo determinante es igual a cero, porque su primera fila es igual al triple de su segunda fila;

b)

el tercer determinante es igual a cero porque su tercera fila es igual a la resta de su segunda fila menos la primera;

luego, cancelas el segundo y el tercer determinante, y queda:

D = (-1)*

3x       3y         3z               -1          0         -1

2         4           6      +          x          y           z

3         4           7                  3          4          7.

Luego, aplica las operaciones:

a)

en el primer determinante: a la tercera fila le restas la segunda fila (recuerda que el determinante no varía),

b)

en el segundo determinante: a la tercera fila le sumas la primera fila, y queda:

D = (-1)*

3x       3y         3z               -1          0         -1

2         4           6      +          x          y           z

1         0           1                  2          4          6.

En este punto, puedes designar como D₁ y D₂ al primero y al segundo determinante en el orden que mostramos, y tienes la ecuación:

D = (-1)*(D₁ + D₂) (*).

Luego, queda que extraigas factor común (3) en la primera fila del primer determinante, y tienes que su expresión queda: 

D₁ = 3*

x    y     z

2    4    6

1    0    1;

luego, permutas sus dos últimas filas (recuerda que el determinante cambia su signo), y queda:

D₁ = 3*(-1)*

x    y    z

1    0    1

2    4    6;

luego, reemplazas el valor del determinante remarcado que tienes en tu enunciado, y queda:

D₁ = 3*(-1)*1 = -3 (1).

Luego, queda que extraigas factor común (-1) en la primera fila del segundo determinante, y tienes que su expresión queda: 

D₂ = (-1)*

1    0    1

x    y     z

2    4    6;

luego, permutas sus dos primeras filas (recuerda que el determinante cambia su signo), y queda:

D₂ = (-1)*(-1)*

x    y    z

1    0    1

2    4    6;

luego, reemplazas el valor del determinante remarcado que tienes en tu enunciado, y queda:

D₂ = (-1)*(-1)*1 = 1 (2).

Luego, vuelves a la ecuación señalada (*), y tienes:

D = (-1)*(D₁ + D₂),

reemplazas los valores señalados (1) (2), y queda:

D = (-1)*(-3 + 1),

resuelves, y el valor del determinante que piden resuelvas en tu enunciado queda:

D = 2.

A partir de (e³ + e^-3)/2  - 1

1 = e³/e³    =>     (e³ + e^-3)/2  - 1 =  (e³ + e^-3)/2  -  e³/e³    (hago esta conversión dado que todas las respuestas tienen e³ en el denominador)

Sumado fracciones: (e³ (e³ + e^-3) - 2e³ ) / (2e³)

Desarrollando el numerador: ( e³ e³ + e³ e^-3 - 2e³ ) / (2e³)     =      ( (e³)² + e⁰ - 2e³ ) / (2e³)    =    ((e³)² - 2e³ + 1) / (2e³)

Y como ((e³)² - 2e³ + 1) es el cuadrado de un binomio   => (e³ - 1)² / (2e³).

muchas gracias amigo fernando

1.- 

en una hora el primero llenará 1/36 del estanque, el segundo 1/30 y el tercero 1/20

por lo tanto si fluyen los tres en una hora llenarán 1/36+1/30+1/20=1/9 del estanque

concluyendo es necesario 9 horas para que se llene

2.- lo haremos al revés

- acaba con 12 € y se gastó la mitad en la librería, es decir gastó otros 12 €, con lo que tenía al entrar en la librería 24 €.

- de la tienda de regalos sale con 24 € por lo que tuvo que entrar con 48€ ya que se gastó la mitad en ella.

- sabemos que el el super gastó 3/7 del dinero con lo que los 4/7 que no gastó son los 48€, por lo que tenía en un principio 84 €

3.-

600 : 3/4 = 800 botellas

600 : 2/3 = 900 botellas

El primero bien

pero el segundo mal, vuelve a hacerlo.

Hola, el primer ejercicio está bien, pero el de factorización de polinomios no está correcto.

El primer paso, que es extraer factor común, está bien: x⁴ - 2x³ - 3x² + 6x = x ( x³ - 2x² - 3x + 6 )

La primera división por Ruffini también está bien resuelta, pero el factor que resulta es ( x - 2 ), ya que el término independiente de los factores son las raíces obtenidas cambiadas de signo. Como aquí la raíz o cero del polinomio es +2, el factor será ( x - 2). Por tanto: x ( x³ - 2x² - 3x + 6 ) = x ( x² - 3) ( x - 2 )

Finalmente, si te permiten expresar factores con radicales, se puede realizar otra división por Ruffini o, como es una ecuación de segundo grado, resolver la ecuación igualando a cero. En este caso, además, es incompleta la ecuación por lo que no se necesita ni siquiera aplicar la fórmula general, y los factores de ( x² - 3 ) serían ( x + √3 ) y ( x - √3 ).

Resumiendo, la factorización del polinomio es: x⁴ - 2x³ - 3x² + 6x = x ( x² - 3) ( x - 2 ), y si te permiten expresar factores con radicales, sería x⁴ - 2x³ - 3x² + 6x = x ( x - 2 ) ( x + √3 ) ( x - √3 )

Espero que te sirva de ayuda, un saludo.

Hola. El primer ejercicio está bien planteado, pero, por matizar algo, sería más sencillo si partieras del número central y lo plantearas como: (x-1)² + x² + (x+1)² , ya que al desarrollar: x² - 2x + 1 + x² + x² + 2x + 1 = 590 ; las 2x con las -2x se eliminan y te queda una ecuación de 2º grado incompleta y no necesitas aplicar la fórmula: 3x² + 2 = 590, por lo que: 3x² = 588 ; x² = 196 ; x = ±√196 ; x= ±14.

En el segundo ejercicio sería más claro comenzar sustituyendo desde el principio, no obstante, la solución es correcta, cada amigo paga al final 9€.

Súbelo al foro de Física, por favor.

Hola, te adjunto una imagen donde te resuelvo los ejercicios. En cualquier caso, estaría bien que repasaras las operaciones con radicales, así como la extracción de factores o el cálculo de raíces equivalentes, y las principales propiedades de los logaritmos para comprender los pasos que he seguido.

Espero que sea útil, un saludo.

Si no me equivoco, el ejercicio en cuestión, depende de los puntos por los que pasa la recta que hayas usado en el apartado a). Con respecto a "perpendicular al eje OZ", puedes usar tanto el vector I=(1,0,0), como J=(0,1,0) o cualquier otro que resulte de multiplicarlos por un número real... Espero haberte ayudado, saludos!!!