1)
Tienes una ecuación polinómica cuadrática de la forma: A*x2 + B*x + C = 0,
cuyos coeficientes son:
A = 1, B = a, C = a;
luego, planteas la expresión de su discriminante, y queda:
D = B2 - 4*A*C, sustituyes las expresiones de los coeficientes, y queda:
D = a2 - 4*1*a, resuelves el segundo término, y queda:
D = a2 - 4*a (1).
Luego, recuerda que para que la ecuación polinómica cuadrática tenga dos soluciones reales distintas debe cumplirse:
D > 0, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:
a2 - 4*a > 0, sumas 4 en ambos miembros, y queda:
a2 - 4*a + 4 > 4, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, y queda:
(a - 2)2 > 4, extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que el índice es par, y queda:
|a - 2| > 2;
luego, por propiedad del valor absoluto, tienes dos opciones:
a)
a - 2 > 2, aquí sumas 2 en ambos miembros, y queda:
a > 4,
b)
-(a - 2) > 2, aquí distribuyes el primer miembro, y queda:
-a + 2 > 2, aquí restas 2 en ambos miembros, y queda:
-a > 0, aquí multiplicas por -1 en ambos miembros (observa que cambia la desigualdad), y queda:
a < 0.
Luego, puedes concluir que la ecuación polinómica cuadrática de tu enunciado tendrá dos soluciones reales distintas para todo número real a que sea estrictamente mayor que cuatro o estrictamente menor que cero.
Espero haberte ayudado.