Entonces, si la primera derivada no tiene ceros, es que no hay ni máximos ni mínimos.

Pista, busca el dominio de la función, te ayudará.

Tienes la expresión de la función, cuyo dominio es: D = (-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞):

f(x) = (x+1)/(4-x²);

luego, has planteado correctamente la expresión de la función derivada (observa que está definida en todo el dominio de la función), y te ha quedado:

f ' (x) = (x²+2x+4) / (4-x²)² (1).

Luego, planteas la condición de punto estacionario (posible máximo o posible mínimo), y queda:

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada en el primer miembro, y queda:

(x²+2x+4) / (4-x²)² = 0, multiplicas en ambos miembros por (4-x²)², y queda:

x² + 2x + 4 = 0,

que es la ecuación polinómica cuadrática que te ha quedado, y tal como tú indicas, no tiene soluciones reales, y más aún, observa que la gráfica de la función cuya expresión es: y = x² + 2x + 4 es una parábola con vértice V(-1,3), y observa que esta gráfica presenta un mínimo en este punto, por lo que tienes que todos los puntos de esta parábola toman valores positivos;

por lo tanto, tienes que en la expresión de la función derivada señalada (1), el numerador toma valores positivos, y que el denominador también toma valores positivos (observa que su expresión es un cuadrado perfecto), en todo el dominio de la función;

luego, puedes concluir que la función cuya expresión tienes en tu enunciado es creciente en los intervalos: (-∞,-2), (-2,2) y (2,+∞) que conforman el dominio de la función.

Y si completas el estudio de la gráfica tomando los límites para x tendiendo a -infinito, a +infinito, a -2 por la izquierda y por la derecha, y a 2 por la izquierda y por la derecha, verás que la gráfica de la función cuya expresión tienes en tu enunciado presenta:

Asíntota Horizontal, cuya ecuación es: y = 0, tanto por la izquierda como por la derecha;

Asíntota Vertical, cuya ecuación es: x = -2;

Asíntota Vertical, cuya ecuación es: x = 2.

Espero haberte ayudado.

Observa que tienes en tu enunciado que el determinante de la matriz B es distinto de cero (y positivo).

Luego, recuerda dos de las propiedades de los determinantes:

a) el determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta: |B| = |B^t|,

b) el determinante de una matriz es igual al recíproco del determinante de su matriz inversa: |B^-1| = 1/|B|.

Luego, tienes la igualdad entre dos matrices de tu enunciado:

B^-1 = B^t;

luego, por igualdad entre matrices tienes que sus determinantes son iguales, por lo que puedes plantear:

|B^-1| = |B^t|,

aplicas la propiedad señalada (a) en el segundo miembro, aplicas la propiedad señalada (b) en el primero, y queda:

1/|B| = |B|,

multiplicas por |B| en ambos miembros, y queda:

1 = |B|²,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (recuerda que tienes en tu enunciado que el determinante de la matriz B es mayor que cero), y queda:

1 = |B|.

Espero haberte ayudado.

Observa que los vectores a, b y c son paralelos con igual sentido que los ejes coordenados OX, OZ y OY, respectivamente, por lo que puedes plantear que sus expresiones son:

a = < 3 , 0 , 0 >, cuyo módulo es: |a| = 3,

b = < 0 , 0 , 4 >, cuyo módulo es: |b| = 4,

c =< 0 , p , 0 >, con p > 0 (a determinar), cuyo módulo es |c| = p.

Luego, observa que el vector r es igual a la suma de los tres vectores anteriores, por lo que puedes plantear:

r = a + b + c, resuelves la suma vectorial que tienes en el segundo miembro, y queda:

r = < 3 , p , 4 > (1),

cuyo módulo queda expresado:

|r| = √(p²+25) (2).

Luego, planteas el producto escalar de los vectores c y r en función de sus componentes, y queda:

c • r = < 0 , p , 0 > • < 3 , p , 4 >, desarrollas el producto escalar en el segundo miembro, y queda:

c • r = 0*3 + p² + 0*4, resuelves el segundo miembro (observa que tienes términos nulos), y queda:

c • r = p² (3).

Luego, planteas el producto escalar de los vectores c y r en función de sus módulos y del ángulo determinado por ellos (cuya medida tienes en tu enunciado: θ = 60°), y queda:

c • r = |c|*|r|*cosθ,

sustituyes las expresiones señaladas (3) y (2), las expresión del módulo del vector c, el valor del ángulo, y queda:

p² = p*√(p²+25)*cos(60°),

reemplazas el valor del último factor, y queda:

p² = p*√(p²+25)*(1/2),

multiplicas por 2 en ambos miembros, y queda:

2*p² = p*√(p²+25),

elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

( 2*p² )² = ( p*√(p²+25) )², 

distribuyes las potencias en ambos miembros, resuelves factores, y queda:

4*p⁴ = p²*(p²+25),

divides por p² en ambos miembros (observa que p es distinto de cero), y queda:

4*p² = p² + 25,

restas p² en ambos miembros, y queda:

3*p² = 25, 

divides por 3 en ambos miembros, y queda:

p² = 25/3,

multiplicas por 3 al numerador y al denominador del segundo miembro, y queda:

p² = 25*3/9,

extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

p = 5*√(3)/3.

Luego, reemplazas el valor remarcado en la expresión del vector r señalada (1), y queda:

r = < 3 , 5*√(3)/3 , 4 >.

Espero haberte ayudado.

Esta es la respuesta a tu ejercicio espero haberte ayudadou

Ahí vamos.

3)

Tienes la ecuación cartesiana explícita de la parábola:

y = 2*x² - 4*x + 1,

extraes factor común numérico entre los dos términos literales, y queda:

y = 2*(x² - 2*x) + 1,

sumas y restas 1 en el agrupamiento, y queda:

y = 2*(x² - 2*x + 1 - 1) + 1,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

y = 2*( (x-1)² -1 ) + 1,

distribuyes el factor común en el primer término, y queda:

y = 2*(x-1)² - 2 + 1,

reduces términos numéricos, y queda:

y = 2*(x-1)² - 1,

que es la ecuación cartesiana canónica de una parábola cuyo vértice es: V(1,-1).

4)

¡Observa que ya tienes la ecuación cartesiana canónica de una parábola, cuyo vértice es: V(1,-3)!

Espero haberte ayudado.

Esto lo tienes que subir al Foro de Física, por favor.

Mil gracias!!

Buenas, la solución a tu ejercicio es la siguiente