Te ayudo.
Plantea la expresión de un vector genérico (P) como combinación lineal de los elementos de la base B', y queda:
a*u' + b*v' + C*w' = P (1),
sustituyes las expresiones de los vectores en el primer miembro de la ecuación señalada (1), y queda:
a*(u+v+w) + b*(u+v) + c*(u+w) = P,
distribuyes en todos los términos del primer miembro, extraes factores comunes vectoriales, y queda:
(a+b+c)*u + (a+b)v + (a+c)*w = P (2).
Luego, vamos por pasos:
1)
Planteas la condición: P = u, sustituyes en el segundo miembro de la ecuación vectorial señalada (2), y queda:
(a+b+c)*u + (a+b)*v + (a+c)*w = u;
luego, como los vectores u, v y w son linealmente independientes, tienes que los factores escalares del primer miembro quedan:
a + b + c = 1,
a + b = 0,
a + c = 0:
luego, resuelves este sistema (te dejo la tarea), y su solución queda: a = -1, b = 1, c = 1,
reemplazas estos valores y la expresión vectorial remarcada en la ecuación vectorial señalada (1), y queda:
-u' + v' + w' = u,
que es la expresión del primer vector de la base B como combinación lineal de los elementos de la base B'.
2)
Planteas la condición: P = v, sustituyes en el segundo miembro de la ecuación vectorial señalada (2), y queda:
(a+b+c)*u + (a+b)*v + (a+c)*w = v;
luego, como los vectores u, v y w son linealmente independientes, tienes que los factores escalares del primer miembro quedan:
a + b + c = 0,
a + b = 1,
a + c = 0:
luego, resuelves este sistema (te dejo la tarea), y su solución queda: a = 1, b = 0, c = -1,
reemplazas estos valores, cancelas el término nulo, y la expresión vectorial remarcada en la ecuación vectorial señalada (1), y queda:
u' - w' = v,
que es la expresión del segundo vector de la base B como combinación lineal de los elementos de la base B'.
3)
Planteas la condición: P = w, sustituyes en el segundo miembro de la ecuación vectorial señalada (2), y queda:
(a+b+c)*u + (a+b)*v + (a+c)*w = w;
luego, como los vectores u, v y w son linealmente independientes, tienes que los factores escalares del primer miembro quedan:
a + b + c = 0,
a + b = 0,
a + c = 1:
luego, resuelves este sistema (te dejo la tarea), y su solución queda: a = 1, b = -1, c = 0,
reemplazas estos valores, cancelas el término nulo, y la expresión vectorial remarcada en la ecuación vectorial señalada (1), y queda:
u' - v' = w,
que es la expresión del tercer vector de la base B como combinación lineal de los elementos de la base B';
por lo que tienes que las expresiones de los vectores de la base B como combinaciones lineales de los vectores de la base B' quedan:
u = -u' + v' + w',
v = u' - w',
w = u' - v'.
Luego, tienes en tu enunciado las expresiones de los vectores de la base B' como combinaciones lineales de los vectores de la base B:
u' = u + v + w,
v' = u + v,
w' = u + w.
Espero haberte ayudado.
