Entonces, si la matriz es 3x3, al añadirle una sola fila o una sola columna, quedará 4x3  o  3x4, con lo que no podrá aumentar su rango.

Hola Nestor, tu duda, mejor en el foro de física que en el de matemáticas...

Revisa las operaciones.

El ejercicio entero es largo y con muchas similitudes al que planteaste hace poco. Calculo, sumas y restas de superficies. Alguna duda en concreto que no estés pudiendo resolver?

Si podrías explicarme mucho mejor y gracias.

Es el mismo que puse la otra vez; que usted dijo que no se veía bien y lo publiqué completo.

Disculpa la demora. Vamos a por el. 

Si algo no queda claro me avisas.

Apartado a

El techo forma una pirámide de base rectangular. Tal como lo tienes ahí dibujado, vamos a calcular el área de los triángulos marcados como a y b. Las bases ya se conocen, hay que calcular sus alturas. Creo que puede resultar lo mas difícil de todo el ejercicio.

Imagina los puntos M_a y M_b como los puntos medios de las bases de los triángulos a y b respectivamente, un punto O en el centro de la base rectangular, y el punto P en el vértice de la pirámide. Tenemos entonces con la pirámide armada, los triángulos POM_a y POM_b ambos rectángulos en O. Las hipotenusas PM_a y PM_b de estos triángulos son las alturas de los triángulos a y b. Entonces:    OP = 1.5   OM_a = 5  y OM_b = 4.25

PM_a² = OM_a² + OP² = 5² + 1.5² = 27.25 => PM_a = √ 27.25 = 5.22. Y la superficie S_a del triangulo a es entonces: S_a =  ½ * 8.5 * 5.22 = 22.19 m²

PM_b² = OM_b² + OP² = 4.25² + 1.5² = 20.31 => PM_b = √ 20.31 = 4.51. Y la superficie S_b del triangulo b es entonces: S_a = ½ * 10 * 4.51 = 22.53 m² 

 Y la superficie total del techo es entonces S_t = 2 S_a + 2 S_b = 2*22.53 + 2*22.19 = 89.44 m²  a pintar de rojo.

Apartado b  (3 m de alto una casa de 2 pisos?)

La superficie total de las paredes sin considerar las ventanas es: dos paredes de 8.5m *3m  y 2 de 10m *3m y la superficie lateral S_L seria:

S_L = 2*8.5*3 + 2*10*3 = 51 + 60 = 111 m² . Pero a eso hay que quitarle la superficie de las ventanas (y puerta) que es:

S_v = 1*0.75*5 + 1*0.75*7 + 1*2*7 + 1*2*2 = 3.75 + 5.25 + 14 + 4 = 27 m² . Superficie a pintar de planco es entonces S_p = S_L - S_v 

S_p = 111 - 27 = 84 m² a pintar de blanco.

Apartado c

Si un galón cubre 40 m² máximo, entonces para cubrir 89.44m² se necesitaran 89.44/40 = 2.236. Pero supongo que los galones se venden por unidad, no se pueden comprar 2 galones y 0.236 galón. De modo que redondeando hacia arriba, se necesitaran 3 galones rojos

Y del mismo modo, para pintar 84m² de blanco necesitaremos 84/40 = 2.1 galones, => 3 galones blancos

Apartado d

Pues si cada galón cuesta $250 y se necesitan 6 galones en total para pintar toda la casa, el costo en galones será: 6*250 = $1500

Apartado e

El volumen de la casa será el volumen de prisma rectangular V_r, mas el volumen de la pirámide rectangular V_p 

V_r = L*A*E = 10* 8.5 *3 = 255 m³     y      V_p = Bh/3 = 8.5*10*1.5 = 127.5 m³ 

Entonces el volumen total V_t es: V_t = V_r + V_p = 255 + 127.5 = 382.5 m³ 

Apartado f

Si para 1 m³ se necesita 600 Btu, para 382.5m² se necesitaran: 382.5 * 600 = 229500 Btu ≅ 230 kBtu.

Observa que tienes una proporción, por lo que aplicas la propiedad fundamental (el producto de los extremos es igual al producto de los medios), y queda:

23,6*(x + 5,62*10^-4) = 37,9*x,

distribuyes en el primer miembro, y queda:

23,6x + 132,632*10^-4 = 37.9x,

restas 37,9x y restas 132,632*10-4 en ambos miembros, y queda:

-14,3x= -132,632*10^-4,

divides por -14,3 en ambos miembros, y queda:

x ≅ 9,27*10^-4.

Espero haberte ayudado.

Te sugiero este video...  Operaciones con Radicales 03 - Racionalizar

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Sumas log₅(x+1/3) en ambos miembros, y la ecuación logarítmica queda:

log₅(x+1/2) + log₅(x+3/4) + log₅(x+1/3) = 1.

Aplicas la propiedad del logaritmo de un multiplicación en el primer miembro, y queda:

log₅( (x+1/2)*(x+3/4)*(x+1/3) ) = 1.

Tomas antilogaritmos en base cinco en ambos miembros, y queda:

(x+1/2)*(x+3/4)*(x+1/3) = 5.

Distribuyes los dos últimos factores en el primer miembro, y queda:

(x+1/2)*(x²+(13/12)x+1/4) = 5.

Distribuyes el primer miembro, y queda:

x³+ (13/12)x² + (1/4)x + (1/2)x² + (13/24)x + 1/8 = 5.

Restas 5 en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:

x³+ (19/12)x² + (19/24)x - 39/8 = 0;

que es una ecuación polinómica cúbica, que puedes resolver con la Fórmula de Cardano, sobre la que tienes un vídeo aquí en Unicoos.

Espero haberte ayudado.