Observa que los puntos de corte son 1 y 3, y que las expresiones de los trozos son continuas.

Luego, estudias la continuidad en cada punto de corte por medio de la definición, y tienes:

1°)

f(1) = 1+b;

2°)

Lím(x→1-) f(x) = Lím(x→1-) (x+b) = 1+b,

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) (e^x-1+ax) = 1+a,

y como los limites laterales deben ser iguales, puedes plantear la ecuación:

1+b = 1+a, aquí restas 1 en ambos miembros, y queda:

b = a (1).

2°)

f(3) = 3²-2*3-2 = 1;

Lím(x→3-) f(x) = Lím(x→3+) (e^x-1+ax) = e²+3a,

Lím(x→3+) f(x) = Lím(x→3+) (x²-2*x-2) = 1,

y como los limites laterales deben ser iguales, puedes plantear la ecuación:

e²+3a = 1, aquí restas e² en ambos miembros, y queda:

3a = 1-e², aquí divides por 3 en ambos miembros, y queda:

a = (1-e²)/3.

Luego reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

b = (1-e²)/3.

Luego, reemplazas los valores remarcados en la expresión de la función que tienes en tu enunciado, y queda:

f(x) =

x + (1-e²)/3                          si x ≤ 1,

e^x-1 + ( (1-e²)/3 )x               si 1 < x < 3,

x² -2x - 2                             si x ≥ 3.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Observa que la función tiene dominio: D_g = R.

Luego, puedes llamar y a un elemento genérico de la imagen de la función, por lo que puedes plantear:

g(x) = y, sustituyes la expresión de la función, y queda:

(1 + 2e^x)/3 = y, multiplicas por 3 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

1 + 2e^x = 3y, restas 1 en ambos miembros, y queda:

2e^x = 3y - 1, divides por 2 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

e^x = (3y - 1)/2, compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, y queda:

x = ln( (3y - 1)/2) (1).

que es la expresión de la abscisa de un punto genérico de la gráfica de la función en función de su ordenada, y observa que debe cumplirse la condición:

(3y - 1)/2 > 0, aquí multiplicas por 2 en ambos miembros (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

3y - 1 > 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, y queda:

3y > 1, aquí divides por 3 en ambos miembros (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

y > 1/3,

por lo que tienes que la imagen de la función es el intervalo: I_g = (1/3,+∞);

luego, permutas variables en la ecuación señalada (1), y queda:

y = ln( (3x - 1)/2), que es la expresión de la ordenada de un punto genérico de la función inversa en función de su abscisa, por lo que puedes concluir que la expresión de la función inversa queda:

g^-1(x) = ln( (3x - 1)/2 ),

cuyo dominio es: D = (1/3,+∞),

y cuya imagen es: I = R.

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Observa que tienes una ecuación trascendente:

2t - 4/(t+1) - 2ln(t²+2t+1) + 4 = -2ln(2) + 2,

ordenas términos en el primer miembro, y queda:

-2ln(t²+2t+1) + 2t + 4 - 4/(t+1) = -2ln(2) + 2;

luego, igualas los términos logarítmicos de ambos miembros, igualas los demás términos del primer miembro al término constante del segundo miembro, y tienes el sistema de dos ecuaciones con una incógnita:

-2ln(t²+2t+1) = -2ln(2),

2t + 4 - 4/(t+1) = 2;

luego, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el argumento del logaritmo en la primera ecuación, sumas 4/(t+1) y restas 2 en ambos miembros de la segunda ecuación, y queda:

-2ln( (t+1)² ) = -2ln(2) (1),

2t + 2 = 4/(t+1) (2);

luego, divides por -2 en ambos miembros de la ecuación señalada (1), y queda:

ln( (t+1)² ) = ln(2), compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo natural, y queda:

(t+1)² = 2, extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

t + 1 = √(2), restas 1 en ambos miembros, y queda:

t = √(2) - 1 (3);

luego, a fin de verificar la validez de la solución que hemos encontrado, reemplazas su valor señalado (3) en la ecuación señalada (2), y queda:

2(√(2)-1) + 2 = 4/(√(2)-1+1),

distribuyes el primer miembro, cancelas términos opuestos en el denominador del segundo miembro, y queda:

2√(2) - 2 + 2 = 4/√(2),

cancelas términos opuestos en el primer miembro, multiplicas al numerador y al denominador del segundo miembro por √(2), y queda:

2√(2) = 2√(2),

que es una Identidad Verdadera, por lo que puedes concluir que el valor señalado (3) es la solución correcta.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original.

Debes considerar la propiedad:

(u•v)² + |uxv|² = |u|² * |v|².

Observa que hemos indicado "producto escalar" con el símbolo •, y "producto vectorial" con el símbolo x.

Luego, tienes todo lo necesario para proseguir con la resolución del problema.

Espero haberte ayudado.

La sucesión está mal definida, pues log(1+cos(npi/n))=log(1+cos(pi))=log(1-1)=log0, que no existe.

Me equivoqué en copiarlo, disculpe.