Puedes llamar N a la cantidad inicial, y tienes que la cantidad de saludos es la combinación de N personas tomadas de a dos, por lo que queda:
C(N,2) = N! / 2!*(N-2)! = N*(N-1)*(N-2)! / 2*(N-2)! = simplificas = N*(N-1)/2.
Luego, llega Julio, y puedes llamar x a la cantidad de saludos que él hizo, y observa que tienes en tu enunciado que es el veinticinco por ciento de la cantidad anterior, por lo que puedes plantear:
x = 0,25*N*(N-1)/2,
multiplicas por 8 en ambos miembros, y queda:
8*x = N*(N-1) (1).
Luego, investigas las multiplicaciones entre dos números naturales consecutivos cuyo resultado sea un múltiplo de 8 (observa que consideramos el primer caso que se presenta), y queda:
2* 1 = 2, 3*2 = 6, 4*3 = 12, 5*4 = 20, 6*5 = 30, 7*6 = 42, 8*7 = 56;
por lo que tienes:
x = 7, que es la cantidad de saludos que hizo Julio;
luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves su primer miembro, distribuyes su segundo miembro, y queda:
56 = N2 - N, restas N2 y sumas N en ambos miembros, y queda:
-N2 + N + 56 = 0, multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:
N2 - N -56 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:
N1 = -7, que no tiene sentido para este problema,
N2 = 8, que es la cantidad de personas que estaban inicialmente en la fiesta.
Luego, tienes que la cantidad inicial de saludos es:
C(8,2) = 8*7/2 = 28,
cuya cuarta parte (veinticinco por ciento) es 7, que es la cantidad de saludos que hizo Julio cuando llegó.
Espero haberte ayudado.
