Para comprobar que A² = 2A - I resuelve por un lado  A²  y por otro  2A - I  y comprueba que te dan lo mismo

Para calcular A¹⁰ una idea o camino sería hacerlo de la siguiente forma: A¹⁰ = (A²)². (A²)². (A²) = (2A - I)². (2A - I)². (2A - I) = (4A -3 I)(4A - 3 I)(2A - I) = ... = 10A-9I

y para la demostración:

Aⁿ⁺¹ = Aⁿ· A =(aA+bI)· A=aA²+bA=a(2A-I)+bA=(2a+b)A-aI=a'A+b'I

como pasas de (2A - I)^2 a (4A - 3 I) ? 

usando (a-b)²=a²-2ab-b²

y luego sustituyendo A2 = 2A - I

xy - 3x - 2y = 15
x( y - 3 ) - 2y = 15
Se busca factorizar  , que 2y agregando algo se pueda poner como 2(y-3)
x( y - 3) - 2y + 6 = 15 + 6 , ... se a sumado 6  a ambos lados
x( y - 3 ) - 2( y - 3) = 21
( y - 3)( x - 2 ) = 21
Ahora a 21 se descompone como el producto de 2 factores

Caso 1 : 21 = 1*21
a) y - 3 = 1    ,  x - 2 = 21  , ===> y = 4  ,  x = 23
b) y - 3 = 21  , x - 2 = 1 , ===> y = 24  ,  x = 3

Caso 2 : 21 = 3*7
a) y - 3 = 3    ,  x - 2 = 7  , ===> y = 6  ,  x = 9
b) y - 3 = 7  , x - 2 = 3 , ===> y = 10  ,  x = 5

Son 4 soluciones.

A ver si puede ser así 

Bueno César tiene razón hay que considerar también las negativas , eso agrego acá :

Caso 3 :  21 = (-1)(-21)
a) y - 3 = -1    ,  x - 2 = -21  , ===> y = 2  ,  x = -19
b) y - 3 = -21  , x - 2 = -1 , ===> y = -18  ,  x = 1

Caso 4 :  21 = (-3)(-7)
a) y - 3 = -3    ,  x - 2 = -7  , ===> y = 0  ,  x = -5
b) y - 3 = -7  , x - 2 = -3 , ===> y = -4  ,  x = -1

En total las soluciones enteras son 8  : 

(x,y) = { (23 , 4) , (3 , 24) , (9 , 6) , (5 , 10) , (-19 , 2) , (1 , -18) , (-5 , 0) , (-1 , -4)}

https://matrixcalc.org/es/

Entiendo que es esto

l)

Observa que los coeficientes de este binomio son números enteros pares y que su máximo común divisor es 2, y observa que la indeterminada x está en ambos términos, por lo que puedes extraer factor común 2x, y queda:

L(x) = 2x*(x + 7).

m)

Observa que los coeficientes de este cuatrinomio son números enteros múltiplos de 3, y que su máximo común divisor es 3, y observa que la indeterminada x está en los cuatro términos, por lo que puedes extraer factor común 3x, y queda:

M(x) = 3x*(x⁶ - 6x⁴ + 12x² - 8);

luego, factrorizas el cuatrinomio cubo perfecto que tienes en el agrupamiento, y queda:

M(x) = 3x*(x² - 2)³;

aquí observa que el argumento del cubo es una resta entre cuadrados, por lo que puedes factrorizarla, y queda:

M(x) = 3x*( ( x+√(2) )*( x-√(2) ) )³;

luego, distribuyes la potencia entre los dos factores del agrupamiento, y queda:

M(x) = 3x*( x+√(2) )³*( x-√(2) )³.

n)

Observa que el máximo común divisor entre los coeficientes de los dos primeros términos es 8 y que la indeterminada x forma parte de ambos términos y que su menor exponente es 3, extraes factor común entre los dos primeros términos, extraes factor común -1 entre los dos últimos términos, y queda:

N(x) = 8x³*(4x² - 1) - 1*(4x² - 1);

luego, como el agrupamiento es factor en los dos términos, lo extraes como factor común, y queda:

N(x) = (8x³ - 1) * (4x² - 1);

luego, observa que en el primer agrupamiento tienes una resta de cubos perfectos, y observa que en el segundo agrupamiento tienes una resta de cuadrados perfectos, por lo que factorizas ambas expresiones, y queda:

N(x) = (2x - 1)*(4x² + 2x + 1) * (2x - 1)*(2x + 1):

luego, reduces factores semejantes (en este caso iguales), y queda:

N(x) = (2x - 1)²*(4x² + 2x + 1)*(2x + 1).

Espero haberte ayudado.

http://www3.uah.es/jmmartinezmediano/mate0/CIM%20Tema%201%2005%20Teoria%20de%20conjuntos.pdf

GRACIAS.

No. Lo sentimos.

Esto no corresponde a este foro, Jorge.

Muchas gracias A. Benito,