¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Vamos con una orientación.

a)

Observa (haz un gráfico) que la región de integración es un triángulo rectángulo cuyos vértices son: (0,0), (a,0) y (a,a),

y cuyos lados están incluidos en las rectas cuyas ecuaciones cartesianas son: y = 0, x = a, y = x.

Luego, dibuja "rayos" desde el origen, que cubran toda la región, y verás:

que se inician en el origen (r = 0), y que terminan en la segunda recta, cuya ecuación en coordenadas polares es: r*cosθ = a,

haces pasajes de factor como diviso, y queda: r = a/cosθ,

por lo que el intervalo de integración queda: 0 ≤ r ≤ a/cosθ;

luego, observa que "el primer rayo" está incluido en la primera recta (y = 0, semieje OX positivo), cuya ecuación polar es: θ = 0,

y que "el último rayo" está incluido en la tercera recta (y = x), cuya ecuación polar (te dejo la tarea del planteo) es: θ = π/4,

por lo que el intervalo de integración queda: 0 ≤ θ ≤ π/4.

b)

Observa (haz un gráfico) que la región de integración tiene vértices (0,0) y  (1,1), y que está limitada "por debajo" por un trozo de parábola cuya ecuación cartesiana es: y = x², y "por arriba" por un trozo de recta cuya ecuación es: y =x.

Luego, dibuja "rayos" desde el origen, que cubran toda la región, y verás:

que se inician en el origen (r = 0), y que terminan en la parábola, cuya ecuación en coordenadas polares (te dejo la tarea del planteo) es: r = senθ/cos²θ,

por lo que el intervalo de integración queda; 0 ≤ r ≤ senθ/cos²θ;

luego, observa que "el primer rayo" es muy pequeño y tiene la dirección y el sentido del semieje OX positivo (θ = 0),

y que "el último rayo" está incluido en la recta (y = x), cuya ecuación polar (te dejo la tarea del planteo) es: θ = π/4,

por lo que el intervalo de integración queda: 0 ≤ θ ≤ π/4.

Espero haberte ayudado.

Tienes una función polinómica cuyo dominio es R, cuyas derivadas primera y segunda tienen las expresiones:

F ' (x) = 12x³ + 12x² - 12x = 12x(x² + x - 1), que está definida en todo el dominio de la función;

F ' ' (x) = 36x² + 24x - 12 = 12(3x² + 2x - 1). que está definida en todo el dominio de la función.

Luego, planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo), y queda:

F ' (x) = 0, sustituyes en el primer miembro, y queda:

12x(x² + x - 1) = 0, y por anulación de un producto tienes dos opciones:

1)

12x = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda: x = 0, evalúas en la expresión de la derivada segunda, y queda: F ' ' (0) = -12 < 0,

por lo que tienes que la gráfica es cóncava hacia abajo en este punto crítico, que por lo tanto es un máximo local;

2)

x² + x - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

2a)

x = ( -1+√(5) )/2 ≅ 0,618, evalúas en la expresión de la derivada segunda, y queda: F ' ' ( ( -1+√(5) )/2 ) ≅ 16,581 > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en este punto crítico, que por lo tanto es un mínimo local;

2b)

x = ( -1-√(5) )/2 ≅ -1,618, evalúas en la expresión de la derivada segunda, y queda: F ' ' ( ( -1-√(5) )/2 ) ≅ 43,413 > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en este punto crítico, que por lo tanto es un mínimo local.

Luego, planteas la condición de posible punto de inflexión, y queda:

F ' ' (x) = 0, sustituyes en el primer miembro, y queda:

12(3x² + 2x - 1) = 0, haces pasaje de factor como divisor, y queda: 3x² + 2x - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

3a)

x = -1, evalúas en la expresión de la derivada primera, y queda: F ' (-1) = 12 > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es creciente en este punto, que por lo tanto es un punto de inflexión;

3b)

x = 1/3, evalúas en la expresión de la derivada primera, y queda: F ' (1/3) = -20/9 < 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es decreciente en este punto, que por lo tanto es un punto de inflexión.

Luego, observa que los límites para x tendiendo a -infinito y +infinito de la función son iguales a +infinito, por lo que tienes que el máximo señalado no es absoluto,

y queda que evalúes la expresión de la función a fin de precisar el carácter de los mínimos que ya hemos señalado.

Espero haberte ayudado.

Por Gauss:

El doble de la primera ecuación más la segunda es igual a la tercera, por lo tanto debes eliminar la tercera pues no da ninguna información

Con el resto de ecuaciones se resuelve, espero que sepas hacerlo, dando un SCD de solución (0,1,2)

Muchísimas gracias!! Todo entendido

en la primera separa la resta, la primera es un logaritmo y la segunda es un arcotangente

en la segunda aplica la integración por partes

Gracias Antonio, la mía esta mal??

No, pero le faltan unos detallitos.

Vector(CA)=(x-2, 3)

Vector(CB)=(-1,4)

Como han de ser perpendiculares, su producto escalar ha de ser 0.

(x-2)(-1)+12=0

x=14

El enunciado b) está incompleto.

b)

Plantea la longitud del lado BA: 

|BA| = √( (x-1)²+(2-3)² ) = √(x²-2x+1+1) = √(x²-2x+2).

Plantea la longitud del lado BC:

|BC| = √( (2-1)²+(-1-3)² ) = √(1+16) = √(17).

Luego, tienes que el triángulo isósceles tiene que los dos lados tienen longitudes iguales, por lo que tienes la ecuación:

√(x²-2x+2) = √(17), elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

x² - 2x + 2 = 17, haces pasaje de término, y queda:

x² - 2x - 15 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

a)

x = -3, por lo que tienes que los vértices del triángulos son: A(-3,2), B(1,3) y C(2,-1),

y las longitudes de los lados son: |BA| = √(17), |BC| = √(17) y |AC| = √(34);

b)

x = 5, por lo que tienes que los vértices del triángulos son: A(5,2), B(1,3) y C(2,-1),

y las longitudes de los lados son: |BA| = √(17), |BC| = √(17) y |AC| = √(18).

Espero haberte ayudado.

Está bien.

Aunque puedes añadir un paso al final y sacar factor común 5 en el numerador, así lo expresas más elegantemente.

Te quedaría:

(5/61)*(3√(7)+√2)

y no sería más correcto así ?  

quiero decir, al tener 15 multiplicando a la primera raiz del numerador, entendiendo que es 3x5, y abajo teniendo un 9 que es 3 al cuadrado , ¿ no sería licito quitar un 3 abajo , quedando solo 5 por la raiz en lugar de 15 y en el denominador siendo 3 por 7 en lugar de 9 por 7 ?

Eso es ilegal del tó :D

Para efectuar la simplificación a la que te refieres tendrían que estar el 3 y el 3² multiplicando a TODO el numerador y TODO el denominador respectivamente.

**Si no te lo crees, siempre viene bien coger la calculadora manual o mental y verás tú mismo que las expresiones que te dije que eran las correctas y esta que vienes proponiendo no son equivalentes para nada.

Toda la razón , muchas gracias ahora entiendo mi error.