Vamos con una orientación para separar variables y resolver la ecuación diferencial.

Has comenzado muy bien, y has obtenido la ecuación diferencial homogénea:

(u - v)*dv = (u + v)*du (1).

Luego, plantea la sustitución (cambio de variable):

v = u*z, de donde tienes:

dv = du*z + u*dz, y también tienes:

u - v = u - u*z = u*(1 - z),

u + v = u + u*z = u*(1+z).

Luego, sustituyes expresiones en la ecuación señalada (1), y queda:

u*(1-z)*(du*z + u*dz) = u*(1+z)*du,

divides por u en ambos miembros, y queda:

 (1-z)*(du*z + u*dz) = (1+z)*du,

distribuyes en el primer miembro, y queda:

z*(1-z)*du + u*(1-z)*dz = (1+z)*du,

haces pasaje de término, y queda:

u*(1-z)*dz = (1+z)*du - z*(1-z)*du,

distribuyes entre los dos primeros factores del último término, y queda:

u*(1-z)*dz = (1+z)*du - (z-z²)*du,

extraes factor común en el segundo miembro, reduces términos semejantes en el agrupamiento (observa que tienes cancelaciones), y queda:

u*(1-z)*dz = (1+z²)*du,

haces pasajes de factores como divisores a fin de separar variables, y queda:

( (1-z)/(1+z²) )*dz = (1/u)*du;

luego, integras en ambos miembros y queda:

arctan(z) - (1/2)*ln(1+z²) = ln|u| + C,

y puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Límites exponenciales y logaritmicos

Muchas gracias cesar se que por definición si det(A)=0 l matriz no es invertible ha otra forma de probarlo

Parece ser, que si f=0   s(t)=A , puede sernque A=0.5

Este ejercicio tienes que ponerlo en alguno de los otros foros (física y/o química)

Puedes plantear, por ejemplo, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que sea compatible indeterminado, como éste:

x + y = 3,

2x + 2y = 6.

que es un sistema con infinitas soluciones, cuya forma es: y = 3 - x, con x ∈ R..

Luego, si agregas ecuaciones que sean múltiplos de alguna de las ecuaciones del sistema, o si agregas ecuaciones que sean sumas o restas entre múltiplos de las ecuaciones del sistema, tendrás un sistema compatible indeterminado con más de dos ecuaciones pero con dos incógnitas.

Por ejemplo, si sumas la primera ecuación con el doble de la segunda, tienes la nueva ecuación:

5x + 5y = 15;

y, luego, puedes plantear el sistema:

x + y = 3,

2x + 2y = 6.

5x + 5y = 15,

que es un sistema compatible indeterminado, 

Espero haberte ayudado.

Y como seria generalizada m ecuaciones y n incógnitas donde m>n

f'(x)=[1/3][xlnx]^,-2/3*(1lnx+x(1/x))

f'(x)=[1/3][lnx+1]/³√(xlnx)²

Primero pasas la raíz como potencia luego aplicas regla de la cadena  y derivas la función interna que es un producto derivas el producto y simplificas finalmente organizas la expresión 

Enunciado completo Eduardo

Es solo éso, derivar implícitamente. Y ese es el supuesto resultado.