Vas muy bien hasta tu cuarta línea, en la que tienes la ecuación:

4y² - y² + 12y = x² + 36, reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

3y² + 12y = x² + 36, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

3(y² + 4y) = x² + 36;

luego, observa que si sumas y restas 4 dentro del agrupamiento, queda:

3(y² + 4y + 4 - 4) = x² + 36;

luego, factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

3( (y+2)² - 4 ) = x² + 36, distribuyes en el primer miembro, y queda:

3(y+2)² - 12 = x² + 36, haces pasajes de términos, y queda:

-x² + 3(y+2)² = 48, divides por 48 en todos los términos de la ecuación, y queda:

-x²/48 + (y+2)²/16 = 1, 

que es la ecuación cartesiana canónica de una hipérbola cuyos elementos son:

C(0,-2) (centro de simetría),

x = 0 (ecuación del eje focal),

y = -2 (ecuación del eje imaginario),

a = √(16) = 4 (longitud del semieje real),

b = √(48) = 4√(3) (longitud del semieje imaginario),

c = √(16+48) = √64) = 8 (longitud del semieje focal),

F₁(0,6) y F₂(0,-10) (focos),

e = 8/4 = 2 (excentricidad),

A₁(0,2) y A₂(0,-6) (vértices reales),

B₁(-4√(3),-2) y B₂(-4√(3),-2) (vértices imaginarios):

Espero haberte ayudado.

Disculpa el retraso:

10,1,-8,-17,-26,-35,-44........

A_n=A_n-1 -9

Era el d, no el c.

Gracias

Este problema se puede resolver usando la probabilidad condicionada.

Basicamente
consiste en que la probabilidad de un esdevenimiento A (por ejemplo que
la segunda pelota sea blanca en un saco de pelotas blancas y negras), está condicionada por el esdevenimiento
B(el color de la primera pelota). La probabilidad de A se calcula así:

Pr(A) = Σ   ( Pr(A|Bi) * Pr(Bi) )

Donde Pr(A|Bi) es la probabilidad de A condicionada el suceso Bi. En este caso tenemos dos sucesos Bi, B1: que la primera pelota sea blanca y B2: que la primera pelota sea negra.

Dicho esto vamos a resolver el problema:

 - Primera bola blanca: 2/5

        Ahora nos encontramos con otra condición: si la segunda pelota es blanca o negra.

        -Segunda pelota blanca: 1/4

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea negra: 3/3 = 1

        -Segunda pelota negra: 3/4

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea blanca: 1/3

-Primera pelota negra: 3/5

        Ahora nos encontramos con otra condición: si la segunda pelota es blanca o negra.

        -Segunda pelota blanca: 2/4 = 1/2

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea negra: 2/3

        -Segunda pelota negra: 2/4 = 1/2

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea blanca: 1/3

Ahora sumamos resolvemos:

    Pr(A) = 2/5 * ( 1/4 * 1   +   3/4 * 1/3 )    +    3/5 * ( 1/2 * 2/3  +   1/2 * 2/3 )  = 6/10  = 3/5

PRUEBA DE LA VERDAD:

para que las 3 cartas sean correctas es necesario 1/3*1/2 = 1/6

Si sumamos la probabilidad de que 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪  3 cartas sean las correctas queda:

1/3 + 1/2 + 0 + 1/6 = 1

Aquí tienes todos los bloques:

https://www.unicoos.com/cursos/1-eso/matematicas

Si tienes dudas con algo nos cuentas por aquí por el foro y te ayudamos.

Este problema se puede resolver usando la probabilidad condicionada.

Basicamente
consiste en que la probabilidad de un esdevenimiento A (por ejemplo que
la segunda pelota sea blanca en un saco de pelotas blancas y negras), está condicionada por el esdevenimiento
B(el color de la primera pelota). La probabilidad de A se calcula así:

Pr(A) = Σ   ( Pr(A|Bi) * Pr(Bi) )

Donde Pr(A|Bi) es la probabilidad de A condicionada el suceso Bi. En este caso tenemos dos sucesos Bi, B1: que la primera pelota sea blanca y B2: que la primera pelota sea negra.

Dicho esto vamos a resolver el problema:

 - Primera bola blanca: 2/5

        Ahora nos encontramos con otra condición: si la segunda pelota es blanca o negra.

        -Segunda pelota blanca: 1/4

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea negra: 3/3 = 1

        -Segunda pelota negra: 3/4

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea blanca: 1/3

-Primera pelota negra: 3/5

        Ahora nos encontramos con otra condición: si la segunda pelota es blanca o negra.

        -Segunda pelota blanca: 2/4 = 1/2

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea negra: 2/3

        -Segunda pelota negra: 2/4 = 1/2

                Ahora solo nos queda que la otra pelota sea blanca: 1/3

Ahora sumamos resolvemos:

    Pr(A) = 2/5 * ( 1/4 * 1   +   3/4 * 1/3 )    +    3/5 * ( 1/2 * 2/3  +   1/2 * 2/3 )  = 6/10  = 3/5

Observa que el dominio de la función es R, y que es continua en todo su dominio.

a)

Plantea los límites:

Lím(x→-∞) x/(x²+1) = extraes factor común en el denominador = Lím(x→-∞) x / x²(1+1/x²) = simplificas = Lím(x→-∞) 1 / x(1+1/x²) = 0,

Lím(x→+∞) x/(x²+1) = extraes factor común en el denominador = Lím(x→+∞) x / x²(1+1/x²) = simplificas = Lím(x→+∞) 1 / x(1+1/x²) = 0,

por lo que tienes que la recta cuya ecuación es: y = 0 es asíntota horizontal de la gráfica de la función tanto por izquierda como por derecha;

luego, plantea el sistema de ecuaciones:

y = x/(x²+1),

y = 0,

igualas expresiones, y queda:

x/(x²+1) = 0, haces pasaje de divisor como factor (observa que el divisor es distinto de cero), y queda:  x = 0,

por lo que puedes concluir que la gráfica de la función corta a la recta en el punto (0,0).

b)

Planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f ' (x) = (1*(x²+1) - x*2x)/(x²+1)² = (x²+1 - 2x²)/(x²+1)² = (1-x²)/(x²+1)²,

y observa que la expresión de la función derivada está definida en todo el dominio de la función;

luego, planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo), y queda:

f ' (x) = 0, sustituyesen la expresión del primer miembro, y queda:

(1-x²)/(x²+1)² = 0, haces pasaje de divisor como factor (observa que el divisor es distinto de cero), y queda:

1 - x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

-x² = -1, multiplicas en ambos miembros por -1, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones.

x₁ = -1, cuya ordenada es: y₁ = f(-1) = -1/2, y también x₂ = 1, cuya ordenada es: y₂ = f(1) = 1/2,

por lo que tienes los puntos de la gráfica: A₁(-1,-1/2) y A₂(1,1/2);

luego, divides al dominio de la función en intervalos cuyos puntos de corte sean los puntos críticos, eliges un representante en cada intervalo y evalúas el signo de la expresión de la función derivada primera, a fin de determinar si la gráfica de la función es decreciente o creciente en cada intervalo:

(-∞,-1), representado por: x = -2, y para él tienes: f ' (-2) = -3/25 < 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es decreciente en este intervalo,

(-1,1), representado por: x = 0, y para él tienes: f ' (0) =1/1 > 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es creciente en este intervalo,

(1,+∞), representado por: x = 2, y para él tienes: f ' (2) = -3/25 < 0, por lo que tienes que la gráfica de la función es decreciente en este intervalo,

por lo que puedes concluir que la gráfica de la función presenta:

Mínimo Absoluto en el punto A₁(-1,-1/2) (observa que la gráfica de la función pasa de ser decreciente a creciente en este punto),

y Máximo Absoluto en el punto A₂(1,1/2) (observa que la gráfica de la función pasa de ser creciente a decreciente en este punto).

Queda que hagas el gráfico correspondiente.

Espero haberte ayudado.