Para facilitar las cosas , puedes aportar un esquema Andrea?

Cuidado al plantear el T. del seno 

Mira estas soluciones a ejercicios parecidos:

https://www.vitutor.com/fun/4/g_e11.html

Y después intenta hacer hasta donde llegues (no importa que esté mal), nos lo envías y te decimos en qué has fallado.

Está incompleto: te falta calcular los límites laterales de la función y sus derivadas y ver que coinciden en x=0

Eso sí te permitirá concluir su derivabilidad.

Cómo sería?

Observa que aunque el dominio del trozo definido por la función exponencial es R-{0} como apuntas en tu hoja, también el cero está incluido por el otro trozo, por lo que R-{0} U {0} = R 

Los límites laterales de f(x) (por izda y derecha) son cero y coinciden con el valor cero en x=0   (( f(0)=0 ))

Por lo que sería continua en todo R.

Igual con los trozos de la derivada (límites laterales, etc,...), que te garantizarán la derivabilidad.

Sólo tienes que tener en cuenta la definición de derivabilidad y derivar esa función exponencial que por cierto, no se ve bien.

Primero tienes que comprobar que dicha función cumple la condición de continuidad sustituyendo x por cero y comprobar que cumpla que es igual a cero.

Si lo primero se cumpliera, tienes que derivar la función y si se cumple también que f´(0)=0 (porque la derivada de cero es cero), entonces puedes concluir que es derivable y el supuesto implícito del enunciado queda demostrado.

Como f(1) =1*(1+sen1)=1.018 y f(2)= 2.06 y  f(x) es continua en [1,2], entonces existe un f(x_o)=2 en el intervalo (1,2)

Porque la condición f'(x)=0 es una condición NECESARIA (pero no SUFICIENTE), para que haya un máximo o mínimo en un punto donde f es derivable. (TEOREMA DE FERMAT)

f(x)= (x-1)^3

f´(x)= 3*(x-1)^2 = 0  ------>  (x-1)^2 = 0  ------->   (x-1)*(x-1)=0 -----> x=1

Con la teoría, precisamente que sea continua, derivable y creciente en todo R como tú apuntas garantiza que no exista ni máximos ni mínimos.

La comprobamos matemáticamente:

Valores menores que x=1 , por ejemplo x=0 dan un valor positivo, pues f´(0)= 3*(0-1)^2 = 3

Valores mayores que x=1 , por ejemplo x=2 dan un valor positivo, pues f´(2)= 3*(2-1)^2 = 3

No hay cambio de monotonía, luego no hay máximos ni mínimos.

Tienes que hacer los límites laterales en x=0

Obtienes que lim(x→0^-)f(x)= lim(x→0⁺)f(x)= -1/2 , y la definición de continuidad nos dice que se tendría que cumplir que lim(x→0^-)f(x)= lim(x→0⁺)f(x)= -1/2 = f(0)

no lo entiendo muy bien

a) Tu integral=

∫2* ⁵√x³dx - ∫5/x²dx - ∫3/(5x³)dx =

2*∫ ⁵√x³dx - 5*∫1/x²dx - 3*∫1/(5x³)dx =

2*∫ x^3/5dx - 5*∫x^-2dx - 3*∫5x^-3dx =

2* (x^8/5)/(8/5) - 5*(x^-1)/(-1) - 3* (5x^-2)/(-2) =    

(10 ⁵√x⁸)/8 + 5/x + 3/(10x²) + C =

(5 ⁵√x⁸)/4 + 5/x + 3/(10x²) + C 

b) Tu integral=

∫(3x*x^1/2)dx - ∫7/x dx =

∫(3x^3/2)dx - ∫7/x dx =