Observa que la expresión de la función es un cociente de la forma N(x)/D(x), con N(x) = e^x + 1, y D(x) = e^x - 1.

Luego planteamos:

N(-x) = e^(-x) + 1 = 1/e^x + 1 = (1 + e^x)/e^x = N(x) / e^x

D(-x) = e^(-x) - 1 = 1/e^x - 1 = (1 - e^x)/e^x = - (e^x - 1)/e^x = -D(x) / e^x

Luego planteamos:

f(-x) = N(-x) / D(-x) = ( N(x) / e^x ) / ( - D(x) / e^x ) = - N(x) / D(x) = - f(x)

Por lo tanto concluimos que f es una función impar.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

w^2 = x

diferencias y queda:

2w*dw = dx

luego sustituyes y queda:

Integral w*e^w*2w*dw = 2 * Integral w^2 * e^w * dw

que es una integral que se resuelve por partes en dos pasoa.

Espero haberte ayudado.

Intenta cambio de variable.. t²=x..... 2t.dt=dx... Te quedará ∫ t. e^t. 2t.dt = ∫ 2t². e^t.dt 
Y ahora, una integral por partes... Integral por partes 01

Si la expresión de la función es: e^(-x) * ln(x), observa que puede escribirse: ln(x) / e^x.

Como seguramente has estudiado en clase el tema Órdenes de Magnitud cuando x tiende a +infinito, tenemos:

ln(x) << x^p << e^x, cuando x tiende a + infinito (<< indica "mucho menor que", y p es un número real positivo).

Por lo tanto, el límite queda:

Lím(x-->+inf) ln(x) / e^x = 0

porque el numerador es mucho menor que el denominador cuando x tiende a +infinito, por órdenes de magnitud.

Espero haberte ayudado.

Tu idea de emplear planos auxiliares es correcta.

Observa que las ecuaciones cartesianas simétricas te brindan a simple vista información de cada recta: un punto, y su vector director.

Luego, veamos el primer plano auxiliar, que contenga al punto M y a la recta L1, por lo que su vector normal (n1) puede calcularse como el producto vectorial:

n1 = AM x u1, donde A es un punto de la recta L1 y u1 es su vector director.

Luego, veamos el segundo plano auxiliar, que contenga al punto M y a la recta L2, por lo que su vector normal (n2) puede calcularse como el producto vectorial:

n2 = BM x u2, donde B es un punto de la recta L2 y u2 es su vector director.

Luego, como la recta L cuyas ecuaciones estamos buscando, es intersección entre los dos planos auxiliares, tenemos que su vector director (u) puede calcularse con el producto vectorial:

u = n1 x n2.

Como ya tienes el punto M y el vector director u de la recta, puedes plantear sus ecuaciones cartesianas paramétricas o cartesianas simétricas.

Espero haberte ayudado.

gracias Antonio, eres un crack ;)

Puedes fijar un sistema cartesiano con origen en C, eje OX coincidente con la tubería, y eje vertical OY. Observa que en este sistema la parábola es simétrica con respecto al eje OY, y tiene vértice en el origen de coordenadas, por lo que su ecuación es de la forma:

y = a*x^2

Luego, si llamamos p a la abscisa del punto B, tenemos a partir de los datos que su ordenada es 3, y el punto queda expresado: B(p,3), donde p debe ser positivo ya que está ubicado en el primer cuadrante (*).

Luego, la abscisa del punto A será p - 35, y su ordenada es 8, y el punto queda expresado: A(p-35,8).

Luego, como ambos puntos pertenecen a la parábola, reemplazamos sus coordenadas en la ecuación y queda el sistema de ecuaciones:

3 = a*p^2

8 = a*(p-35)^2

Luego despejamos en la primera ecuación y queda: 3/p^2 = a, reemplazamos en la segunda ecuación y queda:

8 = (3/p^2)*(p-35)^2

Hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

8*p^2 =3*(p-35)^2

Desarrollamos el binomio, distribuimos a la derecha y queda:

8^p^2 = 3*p^2 - 210*p + 3675

Hacemos pasaje de términos, reducimos términos cuadráticos y queda:

5*p^2 + 210*p - 3675 = 0

Dividimos en todos los términos por 5 y queda:

p^2 + 42*p - 735 = 0

Observa que es una ecuación polinómica cuadrática, aplicas la fórmula resolvente y quedan las soluciones:

p1 = - 21 - V(11769 < 0 (la descartamos, ya que no satisface la condición señalada (*) para nuestro planteo);

p2 = -21 + V(1176) = 13,3 (aproximadamente) > 0, que si satisface la condición señalada (*) para nuestro planteo.

Por lo tanto, los puntos quedan expresados, con abscisas aproximadas para los puntos A y B:

A(-21,7 , 8)

B(13,3 , 3)

C(0,0)

Por lo que ya tenemos ubicado al punto C.

Espero haberte ayudado.

Te va Punk.

En todos los casos debes establecer cuáles son los dominios de las funciones f y g, y:

para la suma, la resta y el producto: el dominio será la intersección entre los dominios de f y de g;

para el cociente, el dominio será la intersección, excluyendo los valores de x que anulan al divisor.

Como ejemplo, vamos con el ejerciccio IV:

Domf = [-1/2,+inf) (observa que el argumento debe ser mayor o igual que cero, por lo que planteamos: 2x+1>=0 y despejamos)

Domg = R =(-inf,+inf) (las funciones polinómicas tienen dominio R).

Luego:

(f + g)(x) = V(2x+1) + (x^2 + 3), con dominio: [-1/2,+inf)

(f - g)(x) = V(2x+1) - (x^2 + 3), con dominio: [-1/2,+inf)

(f * g)(x) = V(2x+1) * (x^2 + 3), con dominio: [-1/2,+inf)

(f / g)(x) = V(2x+1) + (x^2 + 3), con dominio: [-1/2,+inf) (observa que la expresión de g(x) nunca se anula).

Queda para que hagas el intento con el resto de los ejercicios, y ante cualquier duda, vuelve a consultar.

Espero haberte ayudado.

3) Según la definición de valor absoluto (observa que x no puede tomar el valor 3):

|x-3| = (x-3) si x-3>0, o sea si x>3, y el límite por la derecha queda igual a 1 (observa que |x-3|/(x-3) = (x-3)/(x-3) = 1)

|x-3| = -(x-3) si x-3<0, o sea si x<3, y el límite por la izquierda queda igual a -1 (observa que |x-3|/(x-3) = - (x-3)/(x-3) = -1).

4) Observa que el dominio de la función es D = R - { pi/2 }, y que  la función es continua por ser cociente de dos funciones continuas en el Dominio, y la denominadora no se anula en D.

Luego, queda para estudiar el límite de la función para x tendiendo a pi/2. Para ello, planteamos la sustitución (cambio de variable):

w = x - pi/2 (observa que w tiende a 0 cuando x tiende a pi/2), en la que hacemos pasaje de término y tenemos: w + pi/2 = x, sustituimos y la expresión de la función queda:

cos(w + pi/2) / w = aplicamos fórmula del coseno de la suma de dos ángulos =

= ( cos(w)*cos(pi/2) - sen(w)*sen(pi/2) ) / w = ( cos(w)*0 - sen(w)*sen(pi/2) ) / w = - sen(w) / w.

Luego, el límte queda:

Lím(w-->0) - sen(w) / w = - Lím(w-->0) sen(w) /w = -1 (recuerda que el límite de sen(w)/w cuando w tiende a cero es igual a 1, como has visto en clase con toda seguridad).

Luego, como la función tiene límite, puede ser redefinida como una función partida, con los siguientes trozos:

cos(x) / (x - pi/2)         para x distinto de pi/2

-1                                   para x igual a pi/2

con dominio D1 = R.

5) Observa que los puntos de corte entre trozos son: x = 1 y x = 2, y para ellos calculamos los límites laterales:

Lím(x-->1-) f(x) = Lím(x-->1-) (x+1) = 2

Lím(x-->1+) f(x) = Lím(x-->1+) (ax+b) = a + b

y como la función debe ser continua, tenemos que los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto tenemos la ecuación:

a + b = 2 (*)

Lím(x-->2-) f((x) = Lím(x-->2-) (ax+b) = 2a + b

Lím(x-->2+) f((x) = Lím(x-->2+) (3x) = 6

y como la función debe ser continua, tenemos que los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto tenemos la ecuación:

2a + b = 6 (**)

Por lo tanto, a partir de las ecuaciones señaladas (*) y (**) tenemos el sistema de dos ecuaciones:

a + b = 2

2a + b = 6

resolvemos el sistema y llegamos a:

a = 4

b = - 2.

Queda para que hagas los gráficos.

Espero haberte ayudado.

Mil gracias, pero me queda una pequeña duda.

"= ( cos(w)*cos(pi/2) - sen(w)*sen(pi/2) ) / w = ( cos(w)*0 - sen(w)*sen(pi/2) ) / w = - sen(w) / w."

No termino de comprender porque "cos(pi/2) = 0".

Debes recordar que para los ángulos notables cuyos lados coinciden con los ejes coordenados tenemos:

cos0° = 1, sen0° = 0 (0° = 0 radianes)

cos90° = 0, sen90° = 1 (90° = pi/2 radianes)

cos180° = -1, sen180° = 0 (180° = pi radianes)

cos270° = 0, sen270° = -1 (270° = (3/2)pi radianes)

cos360° = 1, sen360° = 0 (360° = 2pi radianes).

Espero haberte ayudado.