Tienes las expresiones de los cuatro primeros términos, y del último término, de una suma finita genérica:

1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²ⁿ = 

expresas a los dos primeros términos como potencias con base dos, y queda:

= 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²ⁿ,

y observa que en los exponentes tienes los números de orden de los términos, que se cuentan desde 0 (para el término inicial), hasta 2n (para el término final), por lo que tienes que la cantidad de términos de esta suma es: (2n+1);

luego, observa que la expresión del término general de esta suma queda expresado:

a_k = 2^k,

con k ∈ N, con 0 ≤ k ≤ 2n.

Espero haberte ayudado.
 

Vamos con una orientación.

Tienes la integral triple:

I = ∫∫∫_S (x²/a² + y²/b² + z²/c²)*dV,

con el sólido de integración (S), que es la región de R³ interior limitada por el elipsoide cuya ecuación cartesiana canónica es: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.

Luego, puedes plantear el cambio de coordenadas:

x = a*u,

y = b*v,

z = c*w,

cuyo factor de compensación (Jacobiano) es: |J| = a*b*c;

luego, sustituyes las expresiones planteadas en el argumento de la integral, y también en la ecuación de la frontera del sólido de integración, extraes factores constantes fuera de la integral triple, simplificas en los términos del argumento de la integral, y queda:

I₁ = a*b*c*∫∫∫_S1 (u² + v² + w²)*dV₁,

con el sólido de integración (S₁), que es la región de R³ interior limitada por la esfera cuya ecuación cartesiana canónica es: u² + v² + w² = 1.

Luego, solamente tienes que plantear el cambio a coordenadas esféricas, a las que ya has estudiado en clase, y terminar con la tarea.

Haz el intento, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

1)

Observa que tienes una función definida en dos trozos, cuyo dominio es R.

Observa que para el primer trozo tienes la expresión de una función continua en el intervalo: (-∞;1),

y que para el segundo trozo tienes la expresión genérica de una función continua en el intervalo: (1;+∞),

por lo que resta plantear la continuidad de la función en el valor de corte: c = 1, para lo que aplicamos la definición de continuidad de una función en un valor de su dominio:

1°)

f(1) = 1 + 1 = 2 (observa que el valor de corte debe ser evaluado en la expresión del primer trozo);

2°)

Lím(x→1-) f(x) = Lím(x→1-) (x + 1) = 2,

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) (3 - a*x²) = 3 - a,

y como los límites laterales deben ser iguales para que el límite de la función en el valor de corte exista, debes plantear la ecuación:

2 = 3 - a, de donde despejas: a = 1;

3°)

con la condición remarcada, tienes que la función es continua en el valor de corte: c = 1, ya que el valor de la función que le corresponde es dos, y coincide con el valor del límite de la función para x tendiendo a uno.

Luego, tienes que la función de tu enunciado es continua en R si y solo sí el coeficiente indeterminado (a) es igual a uno.

Espero haberte ayudado.

contestada

Si suponemos que las bolas son indistinguibles excepto por el color:

Los casos posibles son:  nnnn / rrrr ; rrrr / nnnn;  nnnr / rrrn;  rrrn / nnnr ;  nnrr / rrnn .  Total 5 casos posibles.    (el guión "/"  separa los dos grupos).  Si lo haces por combinatoria sería   Combinaciones con repetición de 2 tomados de 4 en 4. 

a) Casos favorables: 2 casos.  Probabilidad = 2/5

b) Casos favorables: 2 casos.  Probabilidad = 2/5

c) Casos favorables: 1 caso. Probabilidad = 1/5

Mírate la  propia definición de integral triple y verás esa cuestión. Posiblemente solo hayas aprendido métodos de resolución.

Otra forma de razonarlo:

    Si la derivada no se anula nunca, entonces, si es continua, la función o crece o decrece en todo su dominio. En tu ejemplo, la función siempre es creciente porque la derivada es positiva.   Solución: f estrictamente creciente en R

Observa que los números naturales que expresan los perímetros de las ruedas (190 y 281) no tienen divisores comunes (más aún, observa que 281 es un número natural primo), por lo que tienes que su Mínimo Común Múltiplo es: 

A = 190*281 = 53390,

por lo que tienes que María deberá recorrer 53390 mm, o sea: 53,39 m.

Luego, tienes que la cantidad de vueltas que dan las ruedas más pequeñas es (observa que dividimos a la distancia recorrida por el triciclo entre el perímetro de las ruedas más pequeñas):

N_p = 53390/190 = 281,

y tienes que la cantidad de vueltas que da la rueda más grande es (observa que dividimos a la distancia recorrida por el triciclo entre el perímetro de la rueda más grande):

N_g = 53390/281 = 190.

Espero haberte ayudado.