15)

Designamos:

f(x) = y,

f'(x) = y';

luego, sustituimos expresiones en la ecuación diferencial de tu enunciado, y queda:

y' - cos(3*x)*√(y) = 0, sumas cos(3*x)*√(y) en ambos miembros, y queda:

y' = cos(3*x)*√(y), expresas a la derivada como cociente de diferenciales, y queda:

dy/dx = cos(3*x)*√(y), separas variables, y queda:

[1/√(y)]*dy = cos(3*x)*dx, integras en ambos miembros, y queda:

2*√(y) = (1/3)*sen(3*x) + C (1),

que es una ecuación implícita que corresponde a la solución general de la ecuación diferencial.

Luego, observa que tienes la condición inicial:

f(0) = 4, que a partir de la sustitución que hemos hecho, queda expresada:

x = 0 e y = 4;

luego, reemplazas estos valores en la ecuación señalada (1), y queda:

2*√(4) = (1/3)*sen(3*0) + C, resuelves términos, cancelas el término nulo, y luego despejas: C = 4;

luego, reemplazas este último valor en la ecuación señalada (1), y queda:

2*√(y) = (1/3)*sen(3*x) + 4, divides por 2 en todos los términos, y queda:

√(y) = (1/6)*sen(3*x) + 2, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

y = [(1/6)*sen(3*x) + 2]²,

que es la ecuación explícita correspondiente a la solución particular de la ecuación diferencial de tu enunciado, sujeta a la condición inicial indicada;

luego, puedes concluir que la opción que tienes señalada es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Hola, la imagen no está correctamente adjuntada.

Un saludo,

Vlad

no has subido tus soluciones

Esta es la solución que encontré del primer ejercicio que os he mostrado:

El segundo ejercicio no sé como hacerlo y esperaba ver como lo hacéis vosotros. 

Un saludo!!

Para la recta tangente a la gráfica de la función f, en el punto A( 1 ; f(1) ):

observa que la pendiente de la recta es: m = 4, por lo que puedes plantear: f'(1) = 4 (1);

luego, reemplazas el valor de la abscisa del punto de contacto (x = 1) en la ecuación de la recta tangente, evalúas, y queda:

f(1) = 2 (2).

Luego, tienes la expresión de la función g:

g(x) = e^{4*f(x) - 8} (3);

luego, planteas la expresión de la función derivada de la función g (observa que debes aplicar la Regla de la Cadena), y queda:

g'(x) = e^{4*f(x) - 8}*4*f'(x) = 4*f'(x)*e^{4*f(x) - 8} (4).

Además, observa que tienes la expresión del punto de contacto: B ( 1 ; g(1) ),

por lo que evalúas la expresión señalada (3) para su abscisa (x = 1), y queda:

g(1) = e^{4*f(1) - 8}, reemplazas el valor señalado (2), y queda:

g(1) = e^4*2-8, resuelves, y queda:

g(1) = 1, por lo que tienes que el punto de contacto queda expresado: B( 1 ; 1 );

luego, evalúas la expresión señalada (4) para la abscisa del punto de contacto (x = 1), y queda:

g'(1) = 4*f'(x)*e^{4*1 - 8}, reemplazas los valores señalados (1) (2), resuelves, y queda:

g'(1) = 4*4*e^4*2-8, resuelves, y queda:

g'(1) = 16, por lo que tienes que la pendiente de la recta tangente es: M = 16.

Luego, planteas la ecuación general de la recta tangente a la gráfica de la función g en uno de sus puntos, y queda:

y = M*(x - x_B) + y_B, reemplazas valores que tienes en las expresiones remarcadas, y queda:

y = 16*(x - 1) + 1,

por lo que puedes concluir que la opción que tienes señalada es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias maestro!!!

Tienes en el primer día:

Juan compra doce dulces que le cuestan treinta pesos, por lo que el precio de cada dulce queda expresado:

p = 30/12 = 2,50 pesos.

Tienes en el segundo día:

el precio de cada dulce es seis pesos:

q = 6 pesos.

Luego, planteas la expresión de la diferencia de precios por dulce del segundo día con respecto al primer día, y queda:

d = q - p = 6 - 2,50 = 3,50 pesos = 3½ pesos, que es el ahorro por cada dulce,

por lo que tienes que la opción señalada (D) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

resuelto en tu anterior post