Gracias a ambos!

∫₂^+∞[2/x-2/(x+1)]dx = [2lnx-2ln(x+1)]₂^+∞=0-(2ln2-2ln3)=0'81 u²

fíjate que el lim_x->+∞[2lnx-2ln(x+1)]=2lim_x->+∞[lnx-ln(x+1)]=2lim_x->+∞[ln(x/(x+1))]=2ln[lim_x->+∞(x/(x+1))]=2*ln1=2*0=0

Muchas gracias 

Acuda al foro de Física, por favor.

Tienes los datos:

F(t) = √(16*t) = 4*√(t) = 4*t^1/2 (expresión de la fuerza aplicada en función del tiempo, válida para t ≥ 0, expresada en Newtons),

M = 2 gr = 0,002 Kg (masa de la esferita).

v(0) = 0 (condición inicial para la velocidad, expresada en m/s),

x(0) = x₀ (condición inicial para la posición, expresada en metros).

a)

Tienes la expresión de la aceleración:

a(t) = F(t)/M, sustituyes expresiones, y queda:

a(t) = 4*t^1/2/0,002, resuelves el coeficiente, y queda:

a(t) = 2000*t^1/2 (expresión de la aceleración en función del tiempo, expresada en m/s²).

b)

Planteas la expresión de la aceleración en función de la velocidad y del tiempo, y queda:

dv/dt = a(t), sustituyes la expresión de la aceleración, y queda:

dv/dt = 2000*t^1/2, separas variables, y queda:

dv = 2000*t^1/2*dt, integras en ambos miembros, y queda:

v(t) = (4000/3)*t^3/2 + C (1), que es la expresión general de la velocidad en función del tiempo;

luego, planteas la condición inicial para la velocidad:

v(0) = 0, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, cancelas el término nulo, y queda:

C = 0, reemplazas este valor en la expresión señalada (1), cancelas el término nulo, y queda:

v(t) = (4000/3)*t^3/2, que es la expresión de la velocidad en función del tiempo para este problema.

c)

Planteas la expresión de la velocidad en función de la velocidad y del tiempo, y queda:

dx/dt = v(t), sustituyes la expresión de la velocidad que tienes remarcada, y queda:

dx/dt = (4000/3)*t^3/2, separas variables, y queda:

dx = (4000/3)*t^3/2*dt, integras en ambos miembros, y queda:

x(t) = (8000/15)*t^5/2 + D (3), que es la expresión general de la posición en función del tiempo;

luego, planteas la condición inicial para la posición:

x(0) = x₀, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, cancelas el término nulo, y queda:

D = x₀, reemplazas esta expresión en la expresión señalada (3), y queda:

x(t) = (8000/15)*t^5/2 + x₀, que es la expresión de la posición en función del tiempo para este problema.

Debes considerar las unidades y datos que tengas en el enunciado completo del problema, lo que puede conducir a algunos cambios en los coeficientes de las funciones aceleración, velocidad y posición, pero ten en cuenta que el procedimiento que te hemos mostrado es correcto.

Espero haberte ayudado.

Si, PQ es 32

a) Obtén el ángulo RTU, que es el mismo que el ángulo RPQ

b) En el triángulo rectángulo UTR aplica trigonometría

Gracias Antonio  

Comienza por designar con x e y a los números naturales buscados.

Luego, tienes que "la quinta parte de su diferencia es 2", por lo que puedes plantear la ecuación:

(1/5)*(x - y) = 2, multiplicas por 5 en ambos miembros, y queda:

x - y = 10, sumas y en ambos miembros, y queda:

x = 10 + y (1).

Luego, tienes que "la suma de sus inversos es 7/12, por lo que puedes plantear la ecuación:

1/x + 1/y = 7/12, multiplicas por 12xy en todos los términos, simplificas, y queda:

12y + 12x = 7xy (2).

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en el segundo término del primer miembro y en el último factor del segundo miembro de la ecuación señalada (2), y queda:

12y + 12(10 + y) = 7(10 + y)y, distribuyes el segundo término del primer miembro, distribuyes el segundo miembro, y queda:

12y + 120 + 12y = 70y + 7y²,  reduces términos semejantes en el primer miembro, y queda:

24y + 120 = 70y + 7y², restas 7y² y restas 70y en ambos miembros, y queda:

-7y² - 46y + 120 = 0, multiplicas en todos los términos por -1, y queda:

7y² + 46y - 120 = 0, 

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1º)

y = (-46 - 74)/14 = -120/14 = - 60/7, que no es un número natural;

2º)

y = (-46 + 74)/14 = 28/14 = 2, que sí es un número natural,

reemplazas este valor en la ecuación señalada (1), y queda:

x = 10 + 2 = 12, que es otro número natural.

Luego, tienes que la solución de este problema es: x = 12, y = 2,

y puedes comprobar que se verifican las ecuaciones señaladas (1) (2) para esta solución (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Aquí aplicas el Teorema del Resto (observa que 2 es una raíz del polinomio), y tienes:

P(2) = 0, sustituyes la expresión evaluada del polinomio en el primer miembro, y queda:

m*2³ - 6*2² - 4*2 + 8 = 0, resuelves los tres primeros términos, y queda:

8*m - 24 - 8 + 8 = 0, cancelas términos opuestos, sumas 24 en ambos miembros, y queda:

8*m = 24, divides por 8 en ambos miembros, y queda:

m = 3.

Luego, tienes que el polinomio cuya expresión es:

P(x) = 3*x³ - 6*x² - 4*x + 8,

tiene como una de sus raíces a:

x₁ = 2.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una precisión.

Tienes la expresión de la función, cuyo dominio es D = R²:

f(x,y) = x² - 2x + y² - 2y + 3,

sumas y restas 1, y queda:

f(x,y) = x² - 2x + 1 - 1 + y² - 2y + 3,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

f(x,y) = (x - 1)² - 1 + y² - 2y + 3,

sumas y restas 1, y queda:

f(x,y) = (x - 1)² - 1 + y² - 2y + 1 - 1 + 3,

factorizas el trinomio cuadrado perfecto, y queda:

f(x,y) = (x - 1)² - 1 + (y - 1)² - 1 + 3,

reduces términos numéricos, ordenas términos, y queda:

f(x,y) = (x - 1)² + (y - 1)² + 1 (1),

que es la expresión canónica de la función, cuya gráfica tiene la ecuación:

z = (x - 1)² + (y - 1)² + 1,

que corresponde a un paraboloide con eje de simetría paralelo al eje coordenado OZ y que se extiende hacia valores positivos del eje OZ, cuyo vértice es el punto V(1,1,1), que corresponde a un mínimo absoluto de la función.

Luego, planteas la ecuación general de las curvas de nivel de la función, y queda:

f(x,y) = k, con k ∈ R,

sustituyes la expresión de la función señalada (1) en el primer miembro, y queda:

(x - 1)² + (y - 1)² + 1 = k,

restas 1 en ambos miembros, y queda:

(x - 1)² + (y - 1)² = k - 1 (2),

que es la ecuación general de las curvas de nivel de la función,

y observa que corresponde a una familia de circunferencias concéntricas,

cuyo centro es el punto C(1,1), 

y cuyos radios tienen la expresión general: R_k = √(k - 1),

y aquí tienes que debe cumplirse la condición: k - 1 ≥ 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, y queda:

k ≥ 1, de donde tienes que la imagen de la función es el intervalo I = [1,+∞).

Luego, tienes la ecuación de la curva en estudio en tu enunciado (observa que se trata de una circunferencia con centro C(1,1) y radio R_k = 2):

(x - 1)² + (y - 1)² = 4,

comparas término a término con la ecuación general de las curvas de nivel de la función señalada (2), observa que los primeros miembros de estas ecuaciones coinciden término a término, por lo que tienes que los segundos miembros deben ser iguales, por lo que puedes plantear la ecuación: 

k - 1 = 4,

sumas 1 en ambos miembros, y queda:

k = 5,

que es un valor perteneciente a la imagen de la función;

luego, puedes concluir que la circunferencia cuya ecuación cartesiana canónica es: (x - 1)² + (y - 1)² = 4 es una curva de nivel de la función,

cuyos puntos pertenecen todos al dominio de la misma, y ésta toma el valor k = 5 para todos ellos.

Espero haberte ayudado.

por un lado 8 : 2(2+2) = 8 : 2 * 4 = 4 *4 = 16

y por otro

                           8               8              8

8 : [2(2+2)] = ________ = _______= _______ = 1

                       2(2+2)        2 * 4          8

Observa que al ser ADEF  un cuadrado,entonces el angulo EFD es de 90°,entonces los angulos EFB y DFC deben de sumar 90°,asi,como la suma de los angulos del triangulo BEF debe ser 90°,debe de ocurrir que el angulo EBF=DFC y razonando analogamente para el triangulo DFC se tiene que el angulo DFC=DCF

Ahora bien,como los angulos EBF y DFC son iguales,entonces aplicando la función seno,haciendo uso de los triangulos EBF y FDC respectivamente,tenemos que 

EF/BF=DC/FC...(1)

Observa que como AEDF Es cuadrado entonces EF=FD=DA=AE,para simplificar usemos x como el lado del cuadrado AEDF,asi x=EF=FD=DA=AE,ademas AC=AD+DC=x+DC

Sabiendo que AC=15cm, de (1),tenemos entonces que

x/BF=((15-x)/FC

Asi,se tiene que

FC x= BF(15-x)

BFx +FC x =BF 15

(BF+FC)x=BF (15)

BC x=BF (15)

x=(BF/BC)15

Para obtener BF observa el triangulo BEF,por el teorema de pitágoras,y observando que AB=AE+EB=x+EB,sabemos que,como AB=10cm

BF=√((10-x)²+x²)=√(2x²-20x+100)

Ademas,del triangulo ABC,sabemos que,por el teorema de pitágoras

BC=√(15²+10²)=5√13

Asi,entonces tenemos que

x=(BF/BC)15=(15√(2x²-20x+100))/ (5√13)

Elevando al cuadrado,entonces

x²=9(2x²-20x+100)/13

13x²=18x²-180x+900

5x²-180x+900=0

x²-36x+180=0

Asi,tenemos que x es

x=(36±√(1296-720)) / 2 =(36±√576)/2=(36±24)/2

Asi,se tiene dos soluciones,a saber x=30 y x=6,observa que como AC=x+DC es claro que x<AC=15cm,asi pues,tenemos que x=6cm

Por lo que el area del cuadrado ADEF es 36cm²

Muchisimas gracias