Todos son casos del teorema de Bolzano. Si quieres comprobar, por ejemplo, si una función toma el valor 1/2 en alguna parte del intervalo (0,1), solo tienes que comprobar que f(0) vale menos que 1/2 y f(1) vale más que 1/2 o viceversa (siempre que la función sea continua).

Derivada de un cociente. 

Intenta avanzar un poco para agarrar más práctica. Como puede resultar largo, te recomiendo derivar por partes y luego juntar todo según la fórmula que te dejé arriba. Es decir. primero deriva el numerador, luego deriva el denominador, y después planteas.

Tanto en el numerador como en el denominador tienes la derivada de un producto. Así que comienza derivando por separado todos los factores y luego la formula:

Lo único que podría presentarte un problema al derivar es la raíz cúbica, recuerda que se deriva como: 

Eso puedes deducirlo reescribiendo la raíz cúbica como potencia y derivando la potencia.

El resto de cosas, por tus ejercicios previos, ya sabes derivarlas. Sería operar y cualquier duda preguntas! Saludos.

La factorización del x^2 está bien, en el segundo término del numerador no veo bien qué hiciste con el x^3.

En el 49 el dominio son todos los reales positivos, es decir, todos los reales menos el cero. Para la intersección con el eje x, la coordenada en y debe ser 0, así que igualas a 0 la expresión y despejas x, resultando que la intersección es en x=1/e^2

En el 50 el dominio son todos los reales menos el 1. Y la intersección en x es x=e+1

Las gráficas puedes hacerlas en Geogebra si te lo permiten https://www.geogebra.org/graphing?lang=es. De otra manera haces el estudio analítico y a partir de los datos graficas.

No es transitiva por la razón que apuntas. En el grafo, en efecto, no se une a con c. Creo que cometí un error en una respuesta anterior y te dije que era transitiva. No lo es.

vuelve a enviar el grafo. Está completamente distorsionado