Es el rango de la matriz ampliada. Para que el sistema tuviese soluciones determinadas debe ser igual al rango de la matriz principal. La matriz ampliada es aquella que tiene la columna de términos independientes y dos columnas cualquiera de la matriz principal, así que para comprobar su rango, en principio, hay que comprobar el determinante de:

-La primera y segunda columnas junto a la de términos independientes.

-La tercera y segunda columnas junto a la de términos independientes.

-La primera y tercera columnas junto a la de términos independientes.

Si una sola de esas combinaciones tiene rango máximo (3), ya no hace falta continuar, la matriz ampliada tendrá rango 3.

Si una de ellas tiene rango distinto del máximo (2, por ejemplo), hay que comprobar las otras combinaciones, y solo si ninguna de ellas tiene rango 3, la matriz ampliada tendrá rango 2.

Hacen el determinante de la matriz que no contiene a la tercera fila (la que es todo ceros). Pero hay una errata,  falta un 4 multiplicando, con lo que la ecuación sería:

16(a+2) - 3 = 0

El doble signo negativo es irrelevante, puedes tomarlo como una suma. El objetivo es, en la cuarta fila, que ya tiene un cero en primera posición, hacer un nuevo cero en segunda posición. Para hacer un cero en la segunda sin deshacer la primera necesita utilizar una fila que ya tenga un cero en la primera (F2). Ese 1/4 es el factor que se necesita para que F2 anule el segundo término de F4.

Los símbolos de los operadores ∧ (conjunción)  y ∨ (disyunción) están al revés. Normalmente la conjunción se representa por ∧  y la disyunción por ∨

Para hallarlo solamente tienes que dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro, te vale cualquier circunferencia.

El valor exactamente es imposible escribirlo, pues es un número irracional, es decir, tiene infinitos decimales los cuales no siguen un patrón, te paso unos cuantos:

3 . 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955...

ya me cansé de dividir, sigue tú. je,je!!!

La segunda derivada tiene error

Yo, por el contrario, creo que la segunda derivada está bien.   Lo que está mal es el dominio que es R. También está mal deducido que la primera derivada se anula en x = 0. La razón no es que x + x = 0. La razón es que e^x-e^-x = 0 de donde e^x = e^-x    lo cual implica que e^x = 1/e^x,   de donde e^2x = 1,  por tanto 2x = 0   y x = 0.

Vale, entiendo lo de la resolución de f'(x) = 0, pero dominio no entiendo xq estaría mal.

Truco para este ejercicio. e^x+e^-x= 2cosh(x) lo hace mucho más fácil de derivar:

f(x) = ln (e^x+e^-x) = ln(2cosh(x))

f'(x) = (2sinh(x))/(2cosh(x)) = tanh(x)

f''(x) = ((cosh(x))² - (sinh(x))²)/(cosh(x))² = 1/(cosh(x))²

Y deshaciendo el cambio, si lo prefieres en forma exponencial:

f''(x) = 1/(cosh(x))² = 4/( e^x+e^-x)²

Con lo que la derivada está bien hecha.

-La primera derivada se anulará donde lo haga el sinh(x), que es en el cero.

-La segunda derivada se anulará cuando cosh(x) = infinito, cosa que solo pasa en el infinito.

-Para los signos en el estudio de concavidad:

cosh es mayor que cero para todo x.

tanh es mayor que cero para x>0, y menor que cero para x<0.

sinh es mayor que cero para x>0, y menor que cero para x<0.

De acuerdo, me queda claro entonces, muchas gracias a todos, sobre todo por lo del coseno y seno hiperbólico. 

se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Los he resuelto por el método de Gauss

Vamos con una orientación.

Tienes correctamente planteada la expresión de la función derivada primera, y también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.

Luego, la expresión de la función derivada primera te ha quedado:

f ' (x) = -2*x*e^{-x^2}, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, al igual que la función;

luego, planteas la expresión de la función derivada segunda (observa que debes aplicar la regla de derivación de una multiplicación de funciones, y la regla de la cadena cuando tengas que derivar el segundo factor), y queda:

f '' (x) = -2*e^{-x^2} + (-2*x)*e^{-x^2}*(-2x), resuelves el segundo térmno, y queda:

f '' (x) = -2*e^{-x^2} + 4*x²*e^{-x^2}, extraes factores comunes, y queda:

f '' (x) = 2*e^{-x^2}*(-1 + 2*x²), cuyo dominio es el conjunto de los números reales, al igual que la función.

Luego, planteas la condición de posible inflexión, y queda:

f '' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada segunda, y queda:

2*e^{-x^2}*(-1 + 2*x²) = 0,

divides en ambos miembros por 2 y por a (observa que estas dos expresiones son estrictamente positivas, por lo que son distintas de cero), y queda:

-1 + 2*x² = 0, sumas 1 en ambos miembros, luego divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x² = 1/2, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

x₁ = -√(1/2),

x₂ = √(1/2),

por lo que tienes que los intervalos correspondientes son:

( -∞ ; -√(1/2) ),

( -√(1/2) ; √(1/2) ),

( √(1/2) ; +∞ );

y luego puedes continuar la tarea de determinar cuáles intervalos son cóncavos o convexos.

Espero haberte ayudado.

tienes mal donde se anula la segunda derivada

La gráfica que nos proporciona Geogebra puede engañarnos en x = 0. Allí la función no es continua porque no existe f(0).

Buenas tardes, ¿Entonces lo que he realizado no sería correcto?

La derivada que has hecho está bien (tal vez el proceso lo hagas demasiado largo), aunque al final has omitido por despiste una x  (te envío la imagen corregida).

Lo que no haces es el apartado c), es decir demostrar que no es derivable en x = 0 mediante límites como te pide el ejercicio.

Pequeño fallo al final:

¡Muchísimas gracias!

¿Entonces la derivada que he hecho no sería necesaria?

Tal y como lo he resuelto yo, no sería necesaria, lo cual no es óbice para que tú, tras todo ese trabajo, concluyas diciendo que la expresión de la derivada no está definida para x = 0 por lo que implica que la función no es derivable en x = 0.

Comprendido ¡Muchísimas gracias!