Tienes las ecuaciones cartesianas implícitas de los planos:
Π1: 2*y + z = 11, por lo que tienes que un vector normal a este plano es: u1 = < 0 , 2 , 1 >;
Π2: x - y + z = -1, por lo que tienes que un vector normal a este plano es: u2 = < 1 , -1 , 1 >;
luego, como la recta es paralela a ambos planos, entonces tienes que sus vectores directores son perpendiculares a los dos vectores normales a los planos, por lo que puedes plantear que un vector director de la recta es el producto vectorial entre los dos vectores normales, y queda:
v = u1 x u2, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:
v = < 0 , 2 , 1 > x < 1 , -1 , 1 >, resuelves el producto vectorial, y queda:
v = < 3 , 1 , -2 >.
Luego, con las coordenadas del punto que tienes en tu enunciado: A(1,0,-1), y el vector normal al primer plano que tienes calculado: u1 = < 0 , 2 , 1 >, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta perpendicular al primer plano que pasa por el punto A, y queda:
x = 1 (1),
y = 2*t (2),
z = -1 + t (3),
con t ∈ R;
luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3) en la ecuación cartesiana implícita del primer plano que tienes en tu enunciado, y queda:
2*(2*t) + (-1 + t) = 11, resuelves el primer miembro, y queda:
5*t - 1 = 11, y de aquí despejas:
t = 12/5,
que es el valor del parámetro que corresponde al punto de intersección del primer plano con la recta perpendicular a él que pasa por el punto A;
luego, reemplazas el valor del parámetro que tienes remarcado en las ecuaciones paramétricas de la recta señaladas (1) (2) (3), resuelves, y queda:
x = 1,
y = 24/5,
z = 7/5,
por lo que tienes que el punto de intersección queda expresado:
B( 1 , 24/5 , 7/5 ).
Luego, planteas la expresión del punto simétrico al punto A con respecto al primer plano: C( a , b , c ), y planteas las expresiones de los vectores:
AB = < 1-1 , 24/5-0 , 7/5+1 >, resuelves componentes, y queda:
AB = < 0 , 24/5 , 12/5 > (4);
BC = < a-1 , b-24/5 , c-7/5 > (5);
luego, como los vectores AB y BC son colineales, de igual módulo y de igual sentido, puedes plantear la igualdad entre expresiones vectoriales:
BC = AB, sustituyes las expresiones vectoriales señalada (5) (4), y queda:
< a-1 , b-24/5 , c-7/5 > = < 0 , 24/5 , 12/5 >;
luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:
a - 1 = 0, de aquí despejas: a = 1,
b - 24/5 = 24/5, de aquí despejas: b = 48/5,
c - 7/5 = 12/5, de aquí despejas: c = 19/5,
por lo que tienes que la expresión del punto simétrico al punto A con respecto al primer plano queda:
C( 1 , 48/5 , 19/5 );
luego, con la expresión de este último punto, y con la expresión del vector director de la recta buscada: v = < 3 , 1 , -2 > que ya tienes determinada, planteas ecuación vectorial paramétrica de la recta pedida, y queda:
r(λ) = < 1 , 48/5 , 19/5 > + λ*< 3 , 1 , -2 >, con λ ∈ R.
Espero haberte ayudado.