2)

Tienes la ecuación vectorial paramétrica de la recta, resuelves su segundo miembro, y queda la expresión de la función vectorial de los puntos de la recta, cuya variable independiente es el parámetro (λ):

X(λ) = < λ+1 , λ , -λ+2 >, con λ ∈ R.

Luego, como tienes que el punto C pertenece a la recta, puedes plantear que sus coordenadas satisfacen la ecuación vectorial paramétrica de la recta, por lo que su expresión es:

C( λ+1 , λ , -λ+2 ) (1).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto A( 0 , -2 , 3 ) con extremo en el punto B( 2 , -2 , 0 ), y queda:

u = AB = < 2-0 , -2+2 , 0-3 >, resuelves componentes, y queda:

u = < 2 , 0 , -3 > (2).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto A( 0 , -2 , 3 ) con extremo en el punto C( λ+1 , λ , -λ+2 ), y queda:

v = AC = < λ+1-0 , λ+2 , -λ+2-3 >, resuelves componentes, y queda:

v = < λ+1 , λ+2 , -λ-1 > (3).

Luego, planteas la condición de perpendicularidad entre los vectores u y v (observa que no son nulos), y queda:

u•v = 0, sustituyes las expresiones de los vectores señaladas (2) (3), y queda:

< 2 , 0 , -3 >•< λ+1 , λ+2 , -λ-1 > = 0, desarrollas el producto escalar en el primer miembro, y queda:

2*(λ+1) +0*(λ+2) - 3*(-λ-1) = 0, distribuyes en todos los términos, cancelas términos nulos, y queda:

2*λ + 2 + 3*λ + 3 = 0, reduces términos semejantes, y queda:

5*λ + 5 = 0, divides por 5 en todos los términos, y luego despejas:

λ = -1, que es el valor del parámetro que corresponde al punto C perteneciente a la recta;

luego, reemplazas este último valor remarcado en la expresión del punto C señalada (1), resuelves las expresiones de sus coordenadas, y queda:

C( 0 , -1 , 3 ).

Luego, reemplazas el valor del parámetro que tienes remarcado en la expresión del vector señalada (3), resuelves sus componentes, y queda:

v = < 0 , 1 , 0 >;

luego, planteas la expresión del producto escalar entre los vectores u y v, y queda:

u•v = < 2 , 0 , -3 >•< 0 , 1 , 0 > = 2*0 +0*1 - 3*0 = 0,

por lo que tienes verificado que los vectores u y v (AB y AC) que hemos determinado son perpendiculares.

Espero haberte ayudado.

Tienes las ecuaciones cartesianas implícitas de los planos:

Π₁: 2*y + z = 11, por lo que tienes que un vector normal a este plano es: u₁ = < 0 , 2 , 1 >;

Π₂: x - y + z = -1, por lo que tienes que un vector normal a este plano es: u₂ = < 1 , -1 , 1 >;

luego, como la recta es paralela a ambos planos, entonces tienes que sus vectores directores son perpendiculares a los dos vectores normales a los planos, por lo que puedes plantear que un vector director de la recta es el producto vectorial entre los dos vectores normales, y queda:

v = u₁ x u₂, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:

v = < 0 , 2 , 1 > x < 1 , -1 , 1 >, resuelves el producto vectorial, y queda:

v = < 3 , 1 , -2 >.

Luego, con las coordenadas del punto que tienes en tu enunciado: A(1,0,-1), y el vector normal al primer plano que tienes calculado: u₁ = < 0 , 2 , 1 >, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta perpendicular al primer plano que pasa por el punto A, y queda:

x = 1 (1),

y = 2*t (2),

z = -1 + t (3), 

con t ∈ R;

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3) en la ecuación cartesiana implícita del primer plano que tienes en tu enunciado, y queda:

2*(2*t) + (-1 + t) = 11, resuelves el primer miembro, y queda:

5*t - 1 = 11, y de aquí despejas:

t = 12/5,

que es el valor del parámetro que corresponde al punto de intersección del primer plano con la recta perpendicular a él que pasa por el punto A;

luego, reemplazas el valor del parámetro que tienes remarcado en las ecuaciones paramétricas de la recta señaladas (1) (2) (3), resuelves, y queda: 

x = 1,

y = 24/5,

z = 7/5,

por lo que tienes que el punto de intersección queda expresado:

B( 1 , 24/5 , 7/5 ).

Luego, planteas la expresión del punto simétrico al punto A con respecto al primer plano: C( a , b , c ), y planteas las expresiones de los vectores:

AB = < 1-1 , 24/5-0 , 7/5+1 >, resuelves componentes, y queda:

AB = < 0 , 24/5 , 12/5 > (4);

BC = < a-1 , b-24/5 , c-7/5 > (5);

luego, como los vectores AB y BC son colineales, de igual módulo y de igual sentido, puedes plantear la igualdad entre expresiones vectoriales:

BC = AB, sustituyes las expresiones vectoriales señalada (5) (4), y queda:

< a-1 , b-24/5 , c-7/5 > = < 0 , 24/5 , 12/5 >;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:

a - 1 = 0, de aquí despejas: a = 1,

b - 24/5 = 24/5, de aquí despejas: b = 48/5,

c - 7/5 = 12/5, de aquí despejas: c = 19/5,

por lo que tienes que la expresión del punto simétrico al punto A con respecto al primer plano queda:

C( 1 , 48/5 , 19/5 );

luego, con la expresión de este último punto, y con la expresión del vector director de la recta buscada: v = < 3 , 1 , -2 > que ya tienes determinada, planteas ecuación vectorial paramétrica de la recta pedida, y queda:

r(λ) = < 1 , 48/5 , 19/5 > + λ*< 3 , 1 , -2 >, con λ ∈ R.

Espero haberte ayudado.

Tienes un cuadrado cuyo lado mide: L = 1 m, y cuyas diagonales miden: D = √(2) m,

y cuya área mide:

A_T = 1 m².

Luego, puedes considerar a cada figura dentro del cuadrado por separado:

1)

A y B son triángulos isósceles rectángulos, cuyos catetos miden igual que media diagonal del cuadrado,

por lo que la expresión de su área queda:

A_A = [√(2)/2]*[√(2)/2]/2 = (1/2)/2 = 1/4 m²,

A_B = [√(2)/2]*[√(2)/2]/2 = (1/2)/2 = 1/4 m².

2)

C y F son triángulos isósceles rectángulos, cuyos catetos miden igual que un cuarto de la diagonal del cuadrado,

por lo que la expresión de su área queda:

A_C = [√(2)/4]*[√(2)/4]/2 = (1/8)/2 = 1/16 m²,

A_F = [√(2)/4]*[√(2)/4]/2 = (1/8)/2 = 1/16 m².

3)

E es un cuadrado cuyo lado mide un cuarto de la diagonal del cuadrado,

por lo que la expresión de su área queda:

A_E = [√(2)/4]² = 1/8 m².

4)

G es un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos miden igual que la mitad del lado del cuadrado,

por lo que la expresión de su área queda:

A_G = (1/2)*(1/2)/2 = 1/8 m².

5)

D es un paralelogramo, pero como es la última figura cuya área debes calcular, puedes plantear que ésta es igual a la diferencia entre el área del cuadrado completo, menos la suma de todas las áreas que tienes calculadas, por lo que puedes plantear:

A_D = A_T - (A_A + A_B + A_C + A_E + A_F + A_G),

reemplazas los valores que tienes calculados y remarcados, y queda:

A_D = 1 - (1/4 + 1/4 + 1/16 + 1/8 + 1/16 + 1/8),

resuelves el segundo término, y queda:

A_D = 1 - 7/8, 

resuelves, y queda:

A_D = 1/8 m².

Espero haberte ayudado.

Tienes una matriz cuadrada, cuyo orden es: n = 4,

y cuyo determinante tiene el valor: |A| = 5.

a)

Planteas la expresión del determinante de la matriz inversa, y queda:

|A^-1| = 1/|A|,

reemplazas el valor del determinante de la matriz, y queda:

|A^-1| = 1/5.

b)

Planteas la expresión del determinante de un múltiplo escalar de la matriz, y queda:

|k*A| = kⁿ*|A|, con k ∈ R,

reemplazas valores (k = 2, n = 4, |A| = 5), y queda:

|2*A| = 2⁴*5 = 16*5 = 80.

c)

Observa que aquí tienes que aplicar primero la propiedad del determinante del múltiplo escalar de la matriz, y queda:

|k*A^-1| = kⁿ*|A^-1|;

luego, aplicas la propiedad del determinante de la matriz inversa en el último factor, y queda:

|k*A^-1| = kⁿ*1/|A|,

resuelves la multiplicación, y queda:

|k*A^-1| = kⁿ/|A|;

luego, reemplazas valores, y queda:

|k*A^-1| = 2⁴/5 = 16/5.

d)

Observa que aquí tienes que aplicar primero la propiedad del determinante de la matriz inversa, y queda: 

|(k*A)^-1| = 1/|k*A|;

luego, aplicas la propiedad del determinante del múltiplo escalar de la matriz en el denominador del segundo miembro, y queda:

|(k*A)^-1| = 1/(kⁿ*|A|);

luego, reemplazas valores, y queda:

|(k*A)^-1| = 1/(2⁴*5) = 1/(16*5) = 1/80.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original, por favor,

Está todo correcto.