c)

Despejas y en la ecuación de la recta de referencia, y queda:

y = (3/2)x + 5/2, que es la ecuación cartesiana explícita, y observa que la recta de referencia tiene pendiente: 3/2.

Luego, recuerda la condición de perpendicularidad, por lo que tienes que la recta buscada tiene pendiente contraria y recíproca, por lo que puedes plantear que su valor es: m = -2/3; 

luego, como tienes que el punto (2,-3) pertenece a la recta buscada, planteas la ecuación punto-pendiente, y queda:

y = -(2/3)*(x - 2) - 3, distribuyes el segundo término, y queda:

y = -(2/3)*x + 4/3 - 3, multiplicas por 3 en todos los términos, y queda:

3*y = -2*x + 4 - 9, reduces términos numéricos, y queda:

3*y = -2*x - 5, sumas 2*x y sumas 5 en ambos miembros, y queda:

2*x + 3*y + 5 = 0.

8)

Observa que k indica el valor de la pendiente de la recta buscada, de la que tienes planteada su ecuación cartesiana explícita;

luego, multiplicas por -2 en todos los términos de la ecuación de la recta de referencia, y queda:

2*x + y = -2, restas 2*x en ambos miembros, y queda:

y = -2*x - 2, por lo que tienes que -2 es la pendiente de la recta de referencia.

Luego, recuerda la condición de paralelismo, por lo que tienes que la recta buscada tiene la misma pendiente que la recta de referencia, por lo que puedes plantear que su valor es: k = -2;

luego, reemplazas este valor en la ecuación de la recta buscada que tienes en tu enunciado, y queda:

y = -2*x - 1.

9)

Despejas y en la ecuación de la recta buscada, y queda:

y = m*x + 4, que es su ecuación cartesiana explícita, en la que tienes planteado que su pendiente es: m;

luego, despejas y en la ecuación de la recta de referencia, y queda: 

y = (1/3)*x, y observa que su pendiente es (1/3), y por la condición de perpendicularidad que ya hemos presentado en el primer ejercicio, tienes que la pendiente de la recta buscada es: m = -3;

luego, reemplazas este valor en la ecuación de la recta buscada que tienes en tu enunciado, y queda:

-3*x - y + 4 = 0.

Espero haberte ayudado.

demostrar lo que se pide es demostrar que la función f(x)=x2-8lnx solo tiene un cero en ese intervalo

aplica los teoremas oportunos para ello

como pista decirte que la función tiene dos ceros, uno dentro del intervalo y el otro fuera

Vamos con una orientación.

Tienes la ecuación trascendente:

x² = 8*lnx, restas 8*lnx en ambos miembros, y queda:

x² - 8*lnx = 0 (1).

Luego, observa que en el primer miembro de la ecuación señalada (1) tienes la expresión de una función:

f(x) = x² - 8*lnx, que es continua y también derivable en el intervalo que indican en tu enunciado: I = (0, e],

cuya función derivada tiene la expresión:

f'(x) = 2*x - 8/x (2).

Luego, planteas la condición de punto estacionario (posible máximo o posible mínimo de la función), y queda:

f'(x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2) en el primer miembro, y queda:

2*x - 8/x = 0, multiplicas por x (observa que x toma valores distintos de cero en el intervalo) y divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x² = 4, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

1°)

x = -2, que no pertenece al intervalo I = (0, e], por lo que no tiene sentido para este problema;

2°)

x = 2, que sí pertenece al intervalo I = (0, e], por lo que sí tiene sentido para este problema,

y observa que en este punto la función toma el valor: f(2) = 4 - 8*ln(2) ≅ -1,545, y observa que este valor es negativo.

Luego, derivas la expresión señalada (2), y la expresión de la función derivada segunda queda:

f''(x) = 2 + 8/x² (3);

luego, observa que la expresión señalada (3) toma valores positivos en todo el intervalo, por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en todo el intervalo, por lo que tienes que la gráfica de la función presenta un mínimo en el punto: A( 2 ; 4 - 8*ln(2) ), por lo que tienes además que la función es decreciente en el subintervalo: I₁ = (0,2), y es creciente en el subintervalo: I₂ = (2,e].

Luego, considera el subintervalo: I₁ = (0,2), y observa que la función es decreciente en este subintervalo.

Planteas el límite de la función para x tendiendo a cero por la derecha, y queda:

Lím(x→0+) (x² - 8*lnx) = +∞,

por lo que tienes que la función toma valores positivos para x muy cercano a cero, pero toma un valor negativo en el punto estacionario (x = 2), por lo que tienes que corta una sola vez al eje OX en este subintervalo, y puedes concluir que existe un valor c perteneciente al subintervalo I₁ = (0,2), en el cuál la función toma el valor cero, por lo que puedes plantear la ecuación:

f(c) = 0, sustituyes la expresión evaluada de la función en el primer miembro, y queda:

c² - 8*ln(c) = 0, sumas 8*ln(c) en ambos miembros, y queda:

c² = 8*ln(c), por lo que tienes que x = c es una solución de la ecuación de tu enunciado.

Luego, considera el subintervalo: I₂ = (2,e], y observa que la función es creciente en este subintervalo.

Evalúas la expresión de la función para el extremo derecho del intervalo, y queda:

f(e) = e² - 8*ln(e) ≅ -0,611,

que es un valor negativo mayor que el valor de la función en el punto estacionario (recuerda: f(2) ≅ -1,545), por lo que tienes que la gráfica de la función no corta al eje OX en el subintervalo: I₂ = (2,e], por lo que la función toma valores negativos en este subintervalo y, por lo tanto, la función no toma el valor cero para algún elemento de él y no existe valor alguno que sea solución de la ecuación de tu enunciado.

Luego, puedes concluir que existe un único valor x = c, perteneciente al subintervalo: I₁ = (0,2) que es solución de la ecuación de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Tienes la ecuación:

p + 1/(q + 1/r) = 25/19,

resuelves el denominador del segundo término, sumas y restas uno en el segundo miembro, y queda:

p + 1/( (q*r + 1)/r ) = 1 - 1 + 25/19,

resuelves la división entre expresiones fraccionarias en el segundo término, reduces los dos últimos términos en el segundo miembro, y queda:

p + r/(q*r + 1) = 1 + 6/19 (1).

Luego, observa que los cuatro términos de la ecuación señalada (1) son positivos, observa que el denominador del segundo término es mayor que su numerador, por lo que puedes plantear las ecuaciones:

p = 1,

r/(q*r + 1) = 6/19, multiplicas por 19 y multiplicas por (q*r + 1) en ambos miembros, y queda:

19*r = 6*(q*r + 1) (2);

luego, observa que los factores 6 y 19 no tienen divisores comunes excepto el uno (o sea: son coprimos), por lo que tienes que el factor r debe ser un múltiplo de 6, y el factor (q*r + 1) debe ser un múltiplo de 25, observa que para que se verifique la igualdad puedes plantear las ecuaciones:

r = 6*x (3),

q*r + 1 = 19*x (4);

luego, sustituyes la expresión señalada (3) en el primer término de la ecuación señalada (2), y queda:

q*6*x + 1 = 19*x;

restas 19*x y restas 1 en ambos miembros, y queda:

q*6*x - 19*x = -1,

extraes factor común (-x) en el primer miembro, y queda:

-x*(-q*6 + 19) = -1,

multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

x*(-q*6 + 19) = 1 (5),

y observa que para que se verifique la ecuación señalada (5) tienes que los dos factores del primer miembro deben ser iguales a uno, entonces tienes que debe cumplirse:

x = 1, reemplazas este valor en la ecuación señalada (3), resuelves, y queda: r = 6,

-q*6 + 19 = 1, y de aquí despejas: q*6 = 18, y luego despejas: q = 3.

Luego, planteas la expresión cuyo valor te piden en tu enunciado, y queda:

p*q*r = reemplazas los valores remarcados = 1*3*6 = 18.

Espero haberte ayudado.

El vector normal es perpendicular al plano

El plano pedido es:

-3y+z=0

Gracias Antonio, pregunta? Cuando gráfico ese plano el eje X no está incluido en el sino, porque ocurre eso?

Entiendo que tu duda es que al graficar el plano -3y+z=0, el eje x no está incluido en él.

El fallo es que has graficado mal. Fíjate que cualquier punto del eje x pertenece al plano en cuestión.

a=2

b=19

el denominador es 8 pues:

2·(3/x)=(3+12)/(x+12) tiene como solución x=8

Tu respuesta es la correcta la D.

CUIDADO con el numerador de la expresión continua de z en la recta s.  El vector director de s es (2, 1, -3) y el punto de s es (0,2,2). Con esos datos a mi me da Rango de A* = 2, con lo cual las rectas se cortan en un punto. La respuesta correcta sería la B.   (Es una puñetita que a veces puede surgir, así  que cuidado con las ecuaciones continuas)

Pues tienes toda la razón.

gracias

Los ángulos OAB y OCE son alternos internos, o sea que son iguales.

Los ángulos OBA y OEC son alternos internos, o sea que son iguales.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Son semejantes.

Gracias Clow

Esas magnitudes no dependen una de otra, con lo cual, la relación no es ni directa ni inversa. Por eso se utilizan índices como el IMC para analizar la relación masa-estatura de cada persona individualmente. 

Existen personas con igual altura y diferente peso,

además existen personas con igual peso y diferente altura.

De existir relación sería directa, pero NO existe relación.