Planteas la expresión del coseno en función de expresiones exponenciales, y queda:

cosz = (e^iz + e^-iz)/2,

sustituyes la expresión de coseno por una nueva variable (w), y queda

w = (e^iz + e^-iz)/2,

multiplicas por 2 en ambos miembros, y queda:

2*w = e^iz + e^-iz, 

multiplicas por e^iz en todos los términos, y queda:

2*w*e^iz = e^i2z + 1,

restas e^i2z y restas 1 en ambos miembros, y queda:

-e^i2z + 2*w*e^iz - 1 = 0,

multiplicas en todos los términos por -1, expresas al primer término como un cuadrado, y queda:

(e^iz)² - 2*w*e^iz + 1 = 0,

resuelves la ecuación (observa que si consideras que la incógnita es e^iz tienes que es polinómica cuadrática), y queda:

e^iz = w + √(w² - 1),

compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, y queda:

iz = ln( w + √(w² - 1) ),

multiplicas en ambos miembros por -i, resuelves el primer miembro, y queda:

z = -i*ln( w + √(w² - 1) ),

que es la expresión de un elemento del dominio de la función coseno (z) en función del elemento correspondiente en la imagen (w);

luego, de acuerdo con la definición de función inversa, permutas variables, y queda:

w = -i*ln( z + √(z² - 1) ),

en la que la expresión w corresponde a la función inversa del coseno, por lo que queda:

cos^-1z = -i*ln( z + √(z² - 1) ).

Espero haberte ayudado.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Puedes plantear la probabilidad del suceso complementario:

A^c: "al alumno le tocan dos temas que no ha estudiado";

luego, si consideras que las elecciones de temas se hacen con orden y sin repetición, entonces tienes:

p(A^c) = (9/14)*(8/13) = 36/91;

luego, la probabilidad del suceso A: "al alumno le toca al menos un tema estudiado" queda:

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 36/91 = 55/91.

Espero haberte ayudado.

Entendi todo menos la parte de 9/14*8/13. Explicame

Observa que tienes ocho letras para ordenar, de las cuales tres son idénticas (A) y cinco son distintas (L I M Ñ S).

Luego, puedes considerar el problema en dos etapas:

1°)

Ubicas las tres letras A junta (indicamos con X a las ubicaciones de las demás letras):

AAAXXXXX  XAAAXXXX  XXAAAXXX  XXXAAAXX  XXXXAAAX  XXXXXAAA,

por lo que tienes que el número de opciones posible es:

N₁ = 6.

2°)

Ordenas las demás letras, y para cada una de las opciones anteriores tienes:

N₂ = P(5) = 5! = 120 opciones posibles.

3°)

Aplicas el Principio de multiplicación, y la cantidad total de opciones queda:

N = N₁*N₂ = 6*120 = 720.

Espero haberte ayudado.

perfecto!!!!!!

f(x)=cosx

f'(x)=-senx => f'(0)=-sen0 = 0

f''(x)=-cosx => f'(0)=-cos0 = -1

f'''(x)=senx => f'''(0)=sen0 = 0

f^iv(x)=cosx => f^iv(0)=cos0 = 1

f^v(x)=-senx => f^v(0)=-sen0 = 0

f^vi(x)=-cosx => f^vi(0)=-cos0 = -1

.

.

.

si n es impar =>fⁿ(0)= 0

si n es par =>fⁿ(0)= (-1)^n/2

Tienes la expresión de una función definida en tres trozos cuyo dominio es R:

f(x) =

x - 1                  si x < 0,

x²                     si 0 ≤ x ≤ 2,

2x                    si x > 2 (observa que aquí hemos corregido un error de tipeo en tu enunciado);

luego, observa que tienes dos puntos de corte, por lo que estudiamos la continuidad de la función en ellos por medio de la definición:

a) 

para x₁ = 0:

1°)

f(0) = evalúas en el segundo trozo = 0² = 0,

2°)

Lím(x→0-) f(x) = Lím(x→0-) (x - 1) = -1,

Lím(x→0+) f(x) = Lím(x→0-) (x²) = 0,

y como los límites laterales no coinciden, tienes que el límite de la función para x tendiendo a cero no existe,

3°)

como el límite de la función para x tendiendo a cero no existe, puedes concluir que la función no es continua en x₁ = 0,

y, por lo tanto, puedes concluir que la función no es derivable en este punto;

b)

para x₂ = 2:

1°)

f(2) = evalúas en el segundo trozo = 2² = 4,

2°)

Lím(x→2-) f(x) = Lím(x→2-) (x²) = 4,

Lím(x→2+) f(x) = Lím(x→2+) (2x) = 4,

y como los límites laterales sí existen, tienes que el límite de la función para x tendiendo a cero es igual a 4,

3°)

como el límite de la función para x tendiendo a dos coincide con el valor de la función para x₂ = 2, puedes concluir que la función es continua en x₂ = 2, por lo que debes estudiar la existencia de la función derivada por medio de la definición, en este caso de las derivadas laterales:

f_-' (2) = Lím(x→2-) ( f(x) - f(2) )/(x - 2) = Lím(x→2-) ( x² - 4 )/(x-2) = Lím(x→2-) (x + 2)(x - 2))/(x-2) = Lím(x→2-) (x + 2) = 4,

f₊' (2) = Lím(x→2+) ( f(x) - f(2) )/(x - 2) = Lím(x→2) ( 2x - 4 )/(x-2) = Lím(x→2) 2(x - 2))/(x-2) = Lím(x→2) 2 = 2,

y como los valores de las derivadas laterales no coinciden, puedes concluir que la función no es derivable en x₂ = 2.

Luego, observa que las tres expresiones corresponden a funciones continuas en sus correspondientes intervalos de validez, por lo que la expresión de la función derivada primera queda:

f ' (x) =

1                                  si x < 0,

no está definida       si x = 0,

2x                               si 0 < x < 2,

no está definida      si x = 2,

2                                 si x > 2.

Espero haberte ayudado.

Recuerda las propiedades de los límites tendiendo a infinito de la función exponencial natural:

Lím(x→-∞) (e^x) = 0,

Lím(x→+∞) (e^x) = +∞.

Luego, tienes la expresión de la función de tu enunciado:

f(x) = e^2x - e^x = (e^x)² - e^x = e^x*(e^x - 1) (1).

Luego, pasas a considerar los límites tendiendo a infinito, y tienes:

a)

Lím(x→-∞) f(x) = sustituyes la expresión señalada (1) = Lím(x→-∞) e^x*(e^x - 1) = 0,

ya que el primer factor tiende a cero y el segundo factor tiende a -1;

b)

Lím(x→+∞) f(x) = sustituyes la expresión señalada (1) = Lím(x→+∞) e^x*(e^x - 1) = +∞,

ya que el primer factor tiende a +infinito y el segundo factor tiende a +infinito.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Establece un sistema de coordenadas OXY con origen de coodenadas en el el punto A, con eje OX horizontal según tu figura con sentido positivo hacia el punto D, y con eje OY vertical según tu figura con sentido positivo hacia el punto B.

Luego, observa que la base de la región sombreada es un segmento incluido en la recta cuya ecuación es: y = 0, y que su longitud es:

L₁ = a (1).

Observa que la diagonal del cuadrado de tu figura tiene ecuación: y = x (2).

Observa que el arco AB está incluido en la circunferencia cuya ecuación es: x² + (y-a/2)² = a²/4 (3).

Observa que el arco BD está incluido en la circunferencia cuya ecuación es: x² + y² = a² (4).

Luego, planteas y resuelves el sistema formado por las ecuaciones señaladas (2) (3) (te dejo la tarea), y tienes que el arco AB y la diagonal del cuadrado se cortan en el punto: M(a/2,a/2).

Luego, planteas y resuelves el sistema formado por las ecuaciones señaladas (2) (4) (te dejo la tarea), y tienes que el arco BD y la diagonal del cuadrado se cortan en el punto: N(a/√(2),a/√(2)). 

Luego, planteas la expresión de la distancia entre los puntos M y N, y queda:

L₂ = √( (a/√(2)-a/2)² + (a/√(2)-a/2)² ) = te dejo el desarrollo (5).

Luego, observa que el arco AM corresponde a una cuarta parte de la longitud de la circunferencia cuya ecuación hemos señalado (3), cuyo radio es a/2, por lo que tienes que su longitud queda expresada:

L₃ = (1/4)*2π*(a/2) = (1/4)π*a (6).

Luego, observa que el arco DN corresponde a un ángulo de 45° = π/4, observa que el radio de la circunferencia en la que está incluido, cuya ecuación tienes señalada (4) es a, por lo que su longitud es igual a la octava parte de la longitud de la circunferencia, por lo que queda expresada:

L₄ = (1/8)*2πa = (1/4)π*a (7).

Luego, solo queda que sumes las longitudes cuyas expresiones tienes señaladas (1) (5) (6) (7), y tendrás el valor del perímetro de la región sombreada en la figura de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.