Tienes que los tres ángulos directores tienen la misma medida, que indicamos: θ;
luego, recuerda que la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos directores es igual a uno, por lo que puedes plantear la ecuación:
cos2(θx) + cos2(θy) + cos2(θz) = 1,
sustituyes la expresión de la medida de los ángulos directores, reduces términos semejantes, y queda:
3*cos2θ = 1, divides por 3 en ambos miembros, y queda:
cos2θ = 1/3, extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros, y queda:
cosθ = 1/√(3),
que es el valor del coseno director del vector unitario asociado al vector de tu enunciado, y recuerda que los tres cosenos directores tienen el mismo valor, tal como tienen el mismo valor las medidas de los ángulos directorees;
luego, planteas la expresión de dicho vector unitario, y queda:
U = < cos(θx) , cos(θy) , cos(θy) >,
aquí remplazas el valor remarcado en las tres componentes, y queda:
U = < 1/√(3) , 1/√(3) , 1/√(3) >;
luego, planteas la expresión del vector de tu enunciado (v) en función de su módulo y de su vector unitario asociado, y queda:
v = │v│*U, reemplazas el valor del módulo del vector y la expresión del vector unitario asociado, y queda:
v = 4*< 1/√(3) , 1/√(3) , 1/√(3) >;
extraes factor común escalar entre las componentes del vector, y queda:
v = ( 4/√(3) )*< 1 , 1 , 1 >,
multiplicas y divides por √(3) en el factor numérico, resuelves su denominador, y queda:
v = (4√(3)/3)*< 1 , 1 , 1 >,
por lo que tienes que la opción señalada (B) es la respuesta correcta.
Espero haberte ayudado.
