Vamos con una orientación.

Tienes la expresión de la medida del cuarto ángulo: θ₄ = x.

Luego, tienes en tu enunciado que la expresión de la medida del tercer ángulo es:

θ₃ = θ₄ + 20°, sustituyes la expresión de la medida del cuarto ángulo, y queda: θ₃ = x + 20°.

Luego, tienes en tu enunciado que la expresión de la medida del segundo ángulo es:

θ₂ = 2*θ₃ - 10°, sustituyes la expresión de la medida del tercer ángulo, y queda: 

θ₂ = 2*(x + 20°) - 10°, distribuyes el primer término de esta expresión, y queda:

θ₂ = 2*x + 40° - 10°, reduces términos semejantes, y queda: θ₂ = 2*x + 30°.

Luego, tienes en tu enunciado que la expresión de la medida del primer ángulo es:

θ₁ = 4*θ₂ + 20°, sustituyes la expresión de la medida del tercer ángulo, y queda: 

θ₁ = 4*(2*x + 30°) + 20°, distribuyes el primer término de esta expresión, y queda:

θ₁ = 8*x + 120° + 20°, reduces términos semejantes, y queda: θ₁ = 8*x + 140°.

Luego, puedes continuar con la tarea.

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión del elemento general de la sucesión:

a_n = 3*(-1/4)^n-1, con n ∈ N, n ≥ 1,

y observa que es la expresión del elemento general de una sucesión geométrica (revisa tus apuntes de clase), cuyos elementos son:

a₁ = 3 (primer elemento),

q = -1/4 (razón),

y observa que el valor absoluto de la razón es 1/4, que es menor que 1, por lo que tienes que esta sucesión es convergente.

Luego, planteas la expresión del límite del elemento general, y queda:

Lím(n→+∞) a_n = Lím(n→+∞) 3*(-1/4)^n-1 = 3*Lím(n→+∞) (-1/4)^n-1 = 3*Lím(n→+∞) (-1)^n-1/4^n-1 = 3*0 = 0,

ya que tienes que el numerador en el argumento del límite toma los valores 1 y -1 alternadamente, y el denominador tiende a +infinito.

Espero haberte ayudado.

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis siempre también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro.

Planteas la expresión parametrizada de la función (observa que a partir de la función vectorial correspondiente a la trayectoria tienes: x = 1 - t, y = t² + 2, con el intervalo paramétrico: 0 ≤ t ≤ 1/2), y queda:

f(c[t]) = (6 - 3*[t² + 2])/(1 - t - 1), resuelves las expresiones en el numerador y en el denominador, y queda:

f(c[t]) = -3*t²/(-t), simplificas, y queda:

f(c[t]) = 3*t (1).

Planteas la expresión de la función vectorial derivada primera correspondiente a la trayectoria, y queda:

c'(t) = < -1 ; 2*t >, cuyo módulo queda expresado (te dejo el planteo):

|c'(t)| = √(1 + 4*t²) (2).

Luego, tienes la integral de línea de tu enunciado:

I = ∫_C f(x,y)*ds, parametrizas, y queda:

I = _a∫^b f(c[t])*ds, 

reemplazas los límites de integración por los valores extremos del intervalo paramétrico, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en el argumento de la intergral, y queda:

I = ₀∫^1/2 3*t*√(1 + 4*t²)*dt, extraes el factor constante, ordenas factores, y queda:

I = 3*₀∫^1/2 √(1 + 4*t²)*t*dt;

luego, integras (observa que debes aplicar la sustitución, o cambio de variable: w = 1 + 4*t², y que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

I = (1/4)*[( √(1 + 4*t²) )³ ], 

evalúas, y queda:

I = (1/4)*( ( √(2) )³ - 1³ ),

resuelves ambos términos en el agrupamiento (observa: ( √(2) )³ = ( √(2) )²*√(2) = 2*√(2), y 1³ = 1), y queda:

I = (1/4)*( 2*√(2) - 1 ), resuelves la multiplicación, y queda:

I = ( 2*√(2) - 1 )/4,

por lo que tienes que la opción señalada (d) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias por tu ayuda. Seguro que no es la última vez que la necesito :)

Límite uno elevado a infinito

es un error usa el volumen del cubo,