Vamos con una orientación.

Observa que la expresión del argumento de tu integral toma valores estrictamente positivos en el intervalo de integración, ya que tanto la expresión de su numerador como la expresión de su denominador toman también valores estrictamente positivos en dicho intervalo.

Luego, observa que la expresión del denominador toma valores mayores que uno en el intervalo de integración, por lo que tienes que 1 es una cota inferior de dicha expresión.

Luego, puedes plantear la comparación:

e^-x/(x⁴ + 4*x + 1) ≤ minimizamos la expresión del denominador ≤ e^-x/1 = e^-x (1),

y observa que la expresión señalada (1) toma valores positivos en el intervalo de integración, y que tiende a cero cuando x tiende a +infinito,

por lo que tienes que la expresión del argumento de la integral de tu enunciado también tiende a cero cuando x tiende a +infinito.

Luego, puedes plantear la doble inecuación:

0 < e^-x/(x⁴ + 4*x + 1) ≤ e^-x;

luego, con los dos últimos miembros tienes la inecuación:

e^-x/(x⁴ + 4*x + 1) ≤ e^-x,

integras en ambos miembros, y queda:

₁∫^+∞ ( e^-x/(x⁴ + 4*x + 1) )*dx ≤ ₁∫^+∞ e^-x*dx (2),

resuelves la integral impropia del segundo miembro (te dejo la tarea), y queda:

₁∫^+∞ ( e^-x/(x⁴ + 4*x + 1) )*dx ≤ 1;

y de acuerdo con el Criterio de Comparación, tienes que la integral de tu enunciado es menor o igual que la integral señalada (2), y como esta integral es convergente, entonces tienes que la integral de tu enunciado también lo es.

Espero haberte ayudado.

Por favor, verifica que los signos en la expresión del denominador estén correctos, para que podamos ayudarte.

Si la constante lleva una raiz, se eleva a n número o está elevada a una fracción, sigue siendo constante, por lo que debe ser tratada como tal.

Gracias 

A mí también me confunde el hecho de que no me sale ninguna de las soluciones propuestas. A ver si algún colega detecta algún error en la siguiente resolución:

Creo que con (a/2, π/b)   se está refiriendo al par (r, θ), no a su expresión cartesiana.  Si es así  a/2 = 1   y  b = 4/3     de donde   a + b = 10/3.