Hola Jose Gracias por responder, tengo una pregunta, porque se debe considerar la función g(x)=f(x)-x?.muchas gracias

La respuesta es sí, siempre y cuando ese punto se encuentre en un plano paralelo a la base (como ocurre en este ejercicio)

Si nos piden la distancia entre dos rectas habría que ver antes su posición relativa. Si se cruzan se haría como en tu ejercicio.  Si son secantes y se cortan en un punto la distancia es 0. Si son paralelas la distancia es la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra.

Hola! Me encantaría ayudarte, pero no respondemos dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión de la función: f(x) = √(x³/[x-1]), extraes factores, y queda: f(x) = |x|*√(x/[x-1]) = |x|*√(1 + 1/[x-1]),

cuyo dominio es: D = (-∞;0] ∪ (1;+∞) (te dejo la tarea de hacer los planteos necesarios para determinar el dominio de la función, para lo que debes plantear que el argumento de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero).

1°)

Estudiamos la posible existencia de asíntotas horizontales:

a)

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) |x|*√(1 + 1/[x-1]) = Lím(x→-∞) -x*√(1 + 1/[x-1]) = +∞,

por lo que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal izquierda;

b)

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) |x|*√(1 + 1/[x-1]) = Lím(x→+∞) x*√(1 + 1/[x-1]) = +∞,

por lo que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal derecha.

2°)

Estudiamos la posible existencia de asíntotas verticales:

a)
La gráfica no presenta asíntota vertical en x = 0, ya que la función está definida en este valor: f(0) = 0,

y su límite para este valor queda:

Lím(x→0-) f(x) = Lím(x→0-) |x|*√(1 + 1/[x-1]) = Lím(x→0-) -x*√(1 + 1/[x-1]) = 0;

b)

Lím(x→1+) f(x) = Lím(x→1+) |x|*√(1 + 1/[x-1]) = Lím(x→1+) x*√(1 + 1/[x-1]) = +∞,

por lo que la gráfica de la función sí presenta asíntota vertical cuya ecuación es: x = 1.

3°)

Estudiamos la posible existencia de asíntotas oblicuas.

a)

Lím(x→-∞) f(x)/x = Lím(x→-∞) |x|*√(1 + 1/[x-1])/x = Lím(x→-∞) -x*√(1 + 1/[x-1])/x = Lím(x→-∞) -√(1 + 1/[x-1]) = -1 = m_i,

Lím(x→-∞) (f(x) - m_i*x) = Lím(x→-∞) (|x|*√(1 + 1/[x-1]) - (-1)*x) = Lím(x→-∞) (-x*√(1 + 1/[x-1]) + x) = Lím(x→-∞) -x*(√(1 + 1/[x-1]) -1) = -1/2 = b_i,

por lo que tienes que la gráfica de la función presenta asíntota oblicua izquierda, cuya ecuación cartesiana explícita es: y = -x - 1/2;

b)

Lím(x→+∞) f(x)/x = Lím(x→+∞) |x|*√(1 + 1/[x-1])/x = Lím(x→+∞) x*√(1 + 1/[x-1])/x = Lím(x→+∞) √(1 + 1/[x-1]) = 1 = m_d,

Lím(x→+∞) (f(x) - m_d*x) = Lím(x→+∞) (|x|*√(1 + 1/[x-1]) - 1*x) = Lím(x→+∞) (x*√(1 + 1/[x-1]) - x) = Lím(x→+∞) x*(√(1 + 1/[x-1]) -1) = 1/2 = b_d,

por lo que tienes que la gráfica de la función presenta asíntota oblicua derecha, cuya ecuación cartesiana explícita es: y = x + 1/2.

Haz el intento de desarrollar el planteo para determinar el dominio de la función, y para resolver todos los límites que hemos expuesto, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

https://www.youtube.com/watch?v=l88n_UFkWJ8

Tienes la ecuación: x³*z² - x*y*z³ = 2, que corresponde a una superficie de nivel de la función:

F(x,y,z) = x³*z² - x*y*z³, que es una función continua y también diferenciable en R3,

cuyas derivadas parciales quedan expresadas:

F_x = 3*x²*z² - y*z³,

F_y = -x*z³.

F_z = 2*x³*z - 3*x*y*z²;

y tienes que la ecuación de tu  enunciado define implícita mente a z como función de x e y: z = f(x,y),

en un entorno del punto: A(1,1,-1), 

y observa que la función toma el valor: z_A = f(1,1) = -1,

y que las derivadas parciales de la función F toman los valores:

F_x(1,1,-1) = 4,

F_y(1,1,-1) = 1,

F_z(1,1,-1) = -5.

Luego, derivas implícitamente con respecto a x en ambos miembros de la ecuación de tu enunciado (observa que debes aplicar la Regla de la Cadena, debido a que z es una función f que depende de x e y), y queda:

F_x + F_z*f_x = 0, de donde despejas: f_x = -F_x/F_z (1),

F_y + F_z*f_y = 0, de donde despejas: f_y = -Fy/F_z (2);

luego, evalúas las expresiones de las derivadas parciales de la función f señaladas (1) (2) para x = 1 e y = 1, para ello reemplazas los valores de las derivadas parciales de la función F que ya tienes evaluadas, y queda:

f_x(1,1) = -4/(-5) = 4/5,

f_y(1,1) = -1/(-5) = 1/5.

Luego, planteas la ecuación general del planto tangente a la gráfica de una función de dos variables (f), cuyo punto de contacto es A, y queda:

z = z_A + f_x(x_A,y_A)*(x - x_A) + f_y(x_A,y_A)*(y - y_A), reemplazas los valores de las coordenadas del punto A(1,1,-1), y queda:

z = -1 + f_x(1,1)*(x - 1) + f_y(1,1)*(y - 1), reemplazas los valores de las derivadas parciales de la función f evaluadas para el punto A, y queda:

z = -1 + (4/5)*(x - 1) + (1/5)*(y - 1), distribuyes, reduces términos semejantes, ordenas términos, y queda:

z = (4/5)*x + (1/5)*y -2, multiplicas por 5 en todos los términos, y queda:

5*z = 4*x + y - 10, restas 4*x, restas y, sumas 10 en ambos miembros, y queda:

-4*x - y + 5*z + 10 = 0, 

que es una ecuación cartesiana implícita del plano tangente a la gráfica de la función definida implícitamente por la ecuación de tu enunciado, en el punto de contacto A.

Espero haberte ayudado.

Antonio, no entiendo como sacas la ecuación: F_X+F_Z*f_x=0        y la de F_Y+F_Z*f_y

Correctísima.

Planteas la razón del término general siguiente entre el término general, y queda:

a_n+1/a_n = (x²⁽ⁿ⁺¹⁾/4ⁿ⁺¹) / (x²ⁿ/4ⁿ) = simplificas = x²/4.

Luego, aplicas el Criterio de la razón, y queda:

Lím(n→+∞) (a_n+1/a_n) = Lím(n→+∞) (x²/4) = (x²/4)*Lím(n→+∞) (1) = x²/4, 

y tienes tres opciones:

1°)

Lím(n→+∞) (a_n+1/a_n) < 1, de donde tienes: x²/4 < 1, que corresponde a: |x| < 2, en el que la serie es convergente;

2°)

Lím(n→+∞) (a_n+1/a_n) > 1, de donde tienes: x²/4 > 1, que corresponde a: |x| > 2, en el que la serie es divergente;

3°)

Lím(n→+∞) (a_n+1/a_n) = 1, de donde tienes: x²/4 = 1, que corresponde a: |x| = 2, en el que tienes dos opciones:

a)

x = 2, para el cuál el término general de la serie queda: a_n = 2²ⁿ/4ⁿ = (2²)ⁿ/4ⁿ = 4ⁿ/4ⁿ = 1,

que corresponde a una serie constante, por lo tanto divergente,

b)

x = -2, para el cuál el término general de la serie queda: a_n = (-2)²ⁿ/4ⁿ = ([-2]²)ⁿ/4ⁿ = 4ⁿ/4ⁿ = 1,

que corresponde a una serie constante, por lo tanto divergente.

Luego, puedes concluir que la condición de convergencia de la serie es: |x| < 2, que corresponde al intervalo de convergencia: I_c = (-2;2).

Espero haberte ayudado.

Hola! Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

y = ax² + bx + c.  El término lineal es bx    Para hallar b, partes de lo siguiente:   c = f(0) = -12.     Por otra parte si x₁ y x₂ son las raíces del polinomio, se sabe que x₁.x₂ = c/a,  de donde -2.3 = -12/a   de donde a = 2.   Por último x1+x2 = -b/a,  de donde -2+3 = -b/2 , de donde b =2.   El polinomio que expresa la función de la gráfica es 2x² + 2x -12  y su término lineal es 2x.